函数的概念及其表示法

第1讲函数的概念及其表示法考试要求1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．知识梳理1．函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设A，B是两个设A，B是两个对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个元素x，在集合B中都有的元素y与之对应名称称为从集合A到集合B的一个函数称为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f：A→Bf：A→B2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的叫做函数的．(2)如果两个函数的相同，并且完全一致，则这两个函数为相等函数．定义域集合{f(x)|x∈A}值域定义域对应关系3．函数的表示法表示函数的常用方法有、图象法和．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．解析法列表法对应关系并集并集诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．()(3)函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥1}．()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．()解析(1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．(3)由于x2＋1≥1，故y＝x2＋1－1≥0，故函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥0}．(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．下列给出的四个对应中：①A＝B＝N*，对任意的x∈A，f：x→|x－2|；②A＝R，B＝{y|y0}，对任意的x∈A，f：x→1x2；③A＝B＝R，对任意的x∈A，f：x→3x＋2；④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.其中对应为函数的有________(填序号)．解析①中，当x＝2时，|2－2|＝0∉B，此对应不是函数；②中，x＝0时，1x2无意义，此对应不是函数；③对应是函数；④中，A不是数集，故此对应不是函数．答案③3．函数f(x)＝ln2x－x2x－1的定义域为________．解析要使函数f(x)＝ln2x－x2x－1有意义，则2x－x20，x－1≠0，解得0x2，且x≠1，故函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2)．答案(0,1)∪(1,2)4．设f(x)＝1，x0，0，x＝0，1，x0，g(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，则f(g(π))的值为________．解析g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0.答案05．(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.解析由题意知点(－1,4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.答案－2考点一求函数的定义域【例1】(1)函数f(x)＝lnxx－1＋的定义域为________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2017]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是____________．解析(1)要使函数f(x)有意义，应满足xx－10，x≥0，解得x1，故函数f(x)＝lnxx－1＋的定义域为(1，＋∞)．(2)∵y＝f(x)的定义域为[1,2017]，∴g(x)有意义，应满足1≤x＋1≤2017，x－1≠0.∴0≤x≤2016，且x≠1.因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2016，且x≠1}．答案(1)(1，＋∞)(2){x|0≤x≤2016，且x≠1}规律方法求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【训练1】(1)函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为________．(2)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．解析(1)要使函数f(x)有意义，应满足4－|x|≥0，x2－5x＋6x－30，∴|x|≤4，x－20且x≠3，则2x≤4，且x≠3.所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4]．(2)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立．因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案(1)(2,3)∪(3,4](2)[－1,0]考点二求函数的解析式【例2】(1)已知f2x＋1＝lgx，则f(x)＝________；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________；(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，则f(x)＝________.解析(1)令t＝2x＋1(t1)，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，则2ax＋a＋b＝x－1，∴2a＝1，a＋b＝－1，即a＝12，b＝－32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.(3)在f(x)＝2f1x·x－1中，将x换成1x，则1x换成x，得f1x＝2f(x)·1x－1，由fx＝2f1x·x－1，f1x＝2fx·1x－1，解得f(x)＝23x＋13.答案(1)lg2x－1(x1)(2)12x2－32x＋2(3)23x＋13规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)构造法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．【训练2】(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________.解析(1)令x＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝12f(x＋1)＝－12x(x＋1)．(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①将x换成－x，则－x换成x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．答案(1)x2－1(x≥1)(2)－12x(x＋1)(3)23lg(x＋1)＋13lg(1－x)(－1x1)考点三分段函数(多维探究)命题角度一求分段函数的函数值【例3】设函数f(x)＝1＋log22－x，x1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝________.解析根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log2121∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.答案9命题角度二求参数的值或取值范围【例3－2】(1)(2015·山东卷改编)设函数f(x)＝3x－b，x1，2x，x≥1.若ff56＝4，则b＝________.(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex－1，x1，，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．解析(1)f56＝3×56－b＝52－b，若52－b1，即b32时，则ff56＝f52－b＝352－b－b＝4，解之得b＝78，不合题意舍去．若52－b≥1，即b≤32，则＝4，解得b＝12.(2)当x1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln2，所以x1.当x≥1时，≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8.综上可知x的取值范围是(－∞，8]．答案(1)12(2)(－∞，8]规律方法(1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【训练3】(1)(2015·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2x＋1，x1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝x2＋1，x≤0，－x－12，x0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．解析(1)当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，即2a－1＝－1，不成立，舍去；当a1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－74.(2)当x≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x≤0.当x0时，由题意得－(x－1)2≥－1，解之得0x≤2，综上f(x)≥－1的解集为{x|－4≤x≤2}．答案(1)－74(2){x|－4≤x≤2}[思想方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法．4．分段函数问题要用分类讨论思想分段求解．[易错防范]1．复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．-