全国各地中考试题压轴题精选全解

2007年全国各地中考试题压轴题精选全解16(南京市)27．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为()Ok，，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角．（1）填空：①如图1，将ABC△以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到ADE△，这个旋转相似变换记为A（，）；②如图2，ABC△是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换(390)A，，得到ADE△，则线段BD的长为cm；（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点1O，2O，3O分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用12AOO△与ABI△，CIB△与2CAO△之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段12OO与2AO之间的关系．解：（1）①2，60；②2；（2）12AOO△经过旋转相似变换(245)A，，得到ABI△，此时，线段12OO变为线段BI；CIB△经过旋转相似变换2452C，，得到2CAO△，此时，线段BI变为线段1AO．ＣＡBDE图1ＡBＣDE图2ＥＤＢＦＧＣＨＡＩ3O1O2O图32212，454590，122OOAO，122OOAO．17（苏州市）29．设抛物线22yaxbx与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线1yx交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴△AOC∽△COB,．∴OA·OB=OC2；∴OB=22241OCOA∴m=4．18（无锡市）（1）已知ABC△中，90A，67.5B，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC△中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系．解：（1）如图（共有2种不同的分割法）ABC备用图①ABC备用图②ABC备用图③（2）设ABCy，Cx，过点B的直线交边AC于D．在DBC△中，①若C是顶角，如图1，则90ADB，11(180)9022CBDCDBxx，180Axy．此时只能有AABD，即1180902xyyx，34540xy，即31354ABCC．②若C是底角，则有两种情况．第一种情况：如图2，当DBDC时，则DBCx，ABD△中，2ADBx，ABDyx．1．由ABAD，得2xyx，此时有3yx，即3ABCC．2．由ABBD，得1802xyx，此时3180xy，即1803ABCC．3．由ADBD，得180xyyx，此时90y，即90ABC，C为小于45的任意锐角．第二种情况，如图3，当BDBC时，BDCx，18090ADBx，此时只能有ADBD，从而12AABDCC，这与题设C是最小角矛盾．当C是底角时，BDBC不成立．19（南通市）28．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．ABC备用图①67.567.522.522.5ABC备用图②22.522.54545BDCA图1BDCA图2BDCA图3(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．解：（1）(01)A，，(03)B，，2AB，ABC△是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，2ACAB，223OCACOA．(30)C，．设直线BC的解析式为3ykx，330k，3k．直线BC的解析式为33yx．（2）抛物线2yaxbxc关于y轴对称，0b．又抛物线2yaxbxc经过(01)A，，(32)D，两点．192cac，．解得131.ac，抛物线的解析式是2113yx．在RtAOC△中，12OAAC，，易得30ACO．在RtBOC△中，3OB，3OC，易得60BCO．CA是BCO的角平分线．直线BC与x轴关于直线AC对称．点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线2113yx的交点．点P在直线BC：33yx上，故设点P的坐标是(33)xx，．又点P(33)xx，在抛物线2113yx上，213313x．解得13x，223x．故所求的点P的坐标是1(30)P，，2(233)P，．ABO(第28题图)DxyyxABDO（第28题）CPCMQ（3）要求PMCM的取值范围，可先求PMCM的最小值．I）当点P的坐标是(30)，时，点P与点C重合，故2PMCMCM．显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为3，点M是y轴上的动点，PMCM无最大值，PMCM23≥．II）当点P的坐标是(233)，时，由点C关于y轴的对称点(30)C，，故只要求PMMC的最小值，显然线段PC最短．易求得6PC．PMCM的最小值是6．同理PMCM没有最大值，PMCM的取值范围是PMCM6≥．综上所述，当点P的坐标是(30)，时，PMCM23≥，当点P的坐标是(233)，时，PMCM6≥．20（连云港市）28。如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点AC，在坐标轴上，60cmOA，80cmOC．动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止．设点P运动的时间为st．（1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T．求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式；（3）探索：以APT，，三点为顶点的APT△的面积能否达到矩形OABC面积的14？请说明理由．解：（1）在矩形OABC中，60OA，80OC，226080100OBAC．PTOB，RtRtOPTOBC△∽△．PTOPBCOB，即560100PTt，3yPTt．yxBCPOAT（第28题图）当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为80165．所以，t的取值范围是016t≤≤．（2）当O点关于直线AP的对称点O恰好在对角线OB上时，ATP，，三点应在一条直线上（如答图2）．APOB，12．RtRtAOPOCB△∽△，OPAOCBOC．45OP．点P的坐标为(450)，．设直线AP的函数解析式为ykxb．将点(060)A，和点(450)P，代入解析式，得60045.abkb，解这个方程组，得4360.kb，此时直线AP的函数解析式是4603yx．（3）由（2）知，当4595t时，ATP，，三点在一条直线上，此时点ATP，，不构成三角形．故分两种情况：（i）当09t时，点T位于AOP△的内部（如答图3）．过A点作AEOB，垂足为点E，由AOABOBAE可得48AE．APTAOPATOOTPSSSS△△△△211160544843654222tttttt．若14APTOABCSS△矩形，则应有26541200tt，即292000tt．此时，2(9)412000，所以该方程无实数根．所以，当09t时，以APT，，为顶点的APT△的面积不能达到矩形OABC面积的14．（ii）当916t≤时，点T位于AOP△的外部．（如答图4）此时2654APTATOOTPAOPSSSStt△△△△．若14APTOABCSS△矩形，则应有26541200tt，即292000tt．yxBCPOAT（第28题答图3）EyxBCPOAT（第28题答图2）21O解这个方程，得198812t，2988102t（舍去）．由于288162525，988196251722t．而此时916t≤，所以98812t也不符合题意，故舍去．所以，当916t≤时，以APT，，为顶点的APT△的面积也不能达到矩形OABC面积的14．综上所述，以APT，，为顶点的APT△的面积不能达到矩形OABC面积的14．21（扬州市）26.如图，矩形ABCD中，3AD厘米，ABa厘米（3a）．动点MN，同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于PQ，．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）若4a厘米，1t秒，则PM______厘米；（2）若5a厘米，求时间t，使PNBPAD△∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．解:（1）34PM，（2）2t，使PNBPAD△∽△，相似比为3:2（3）PMABCBABAMPABC⊥，⊥，，AMPABC△∽△，PMAMBNAB即()PMattatPMtaa，，(1)3taQMaDQCPNBMADQCPNBMA当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即()()22QPADDQMPBNBM()33(1)()22tattaatttaa化简得66ata，3t≤，636aa≤，则636aa≤，≤，（4）36a≤时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CNPM()3tatta，把66ata代入，解之得23a，所以23a．所以，存在a，当23a时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．22(南充市)21.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线216yxbxc过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q（8，m）在抛物线216yxbxc上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），∵抛物线216yxbxc过点A和B，则221220,61660,6bcbc解得4,32.bcCAMBxyODE则抛物线的解析式为214263yxx．故C（0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图①，抛物线对称轴l是x＝4．∵Q（8，