解析几何 求圆的轨迹方程(专题一)师用

1专题一求圆的轨迹方程教学目标：1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。教学重难点：1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、会求曲线的轨迹方程（圆）教学过程：第一部分知识点回顾一、圆的方程：1．圆的标准方程：222xaybr。2．圆的一般方程：22220(DE4F0)＋－xyDxEyF特别提醒：只有当22DE4F0＋－时，方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆思考：二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？答案：（0,AC且0B且2240DEAF））；3．圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为(,)ab，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos,sinxyrxryr；22xytcos,sin(0)xryrrt。4．1122A,,,xyBxy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy如（1）圆C与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆C的方程为____________（答：22(1)1xy）；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：9)3()3(22yx或1)1()1(22yx）；（3）已知(1,3)P是圆cossinxryr（为参数，02)上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________2（答：224xy＝；23；340xy）；（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：21k）；（6）若3cos{(,)|3sinxMxyy（为参数，0)}，bxyyxN|),(，若NM，则b的取值范围是_________（答：3,32－）二、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点M在圆C外22200CMrxaybr；（2）点M在圆C内22200CMrxaybr；（3）点M在圆C上20CMrxa220ybr。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：131||a）三、直线与圆的位置关系：直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆12222yx与直线sin10(,2xyRk，)kz的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线30axby与圆22410xyx切于点(1,2)P，则ab的值____（答：2）；（3）直线20xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于（答：45）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（答：4）；（5）已知(,)(0)Mabab是圆222:Oxyr内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线2:laxbyr，则A．//ml，且l与圆相交B．lm，且l与圆相交3C．//ml，且l与圆相离D．lm，且l与圆相离（答：C）；（6）已知圆C：22(1)5xy，直线L：10mxym。①求证：对mR，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若17AB，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.（答：②60或120③最长：1y，最短：1x）第二部分直线与圆的典型例题一、求圆的轨迹方程1、用定义法求圆的轨迹方程例1设方程22242(3)2(14)1690xymxmym，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得：2222(3)(14)167xmymmm该方程表示圆，则有21670mm，得1(,1)7m，此时圆心的轨迹方程为2341xmym，消去m，得24(3)1yx，由1(,1)7m得x=m+320,47所求的轨迹方程是24(3)1yx，20,47x注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x变式1方程224(1)40axayaxy表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。解：原方程可化为22222(1)24(22)()aaaxyaaa2220,aa当a0时，原方程表示圆。又22222222222(44)4(22)22aaaaaaraaa当min2,2ar，所以半径最小的圆方程为22112xy2、用待定系数法求圆的轨迹方程例2求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关4系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax．∵圆心在0y上，故0b．∴圆的方程为222)(ryax．又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点．∴22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx．又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C∴半径204)11(22ACr．故所求圆的方程为20)1(22yx．又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22．∴点P在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例3求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：．圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC．又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734CA或134CA．5(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故可得1022a．∴所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．(2)当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故622a．∴所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如2224)4()(yax．又圆042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为)1,2(A，半径为3．若两圆相切，则34CA．故2227)14()2(a，解之得1022a．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.3、用几何方法求圆的轨迹方程例4设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线02:yxl的距离最小的圆的方程。分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.解法一:设圆心为),(baP,半径为r,则点P到x轴，y轴的距离分别为||b，||a。由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴的弦长为2r，故222br又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有122ar.从而得1222ab又点),(baP到直线02yx的距离为|2|5abd所以当且仅当ba时上式等号成立,此时152d，从而d取得最小值.解此方程组得由于222br知2r于是,所求圆的方程是:62)1()1(22yx或2)1()1(22yx解法二:同解法一得222|2|2554455abdabdabbdd得将1222ba代入上式，整理得24551022bdbd=②把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即0)15(82d，得152d所以25d有最小值1，从而d有最小值55将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.综上a=±1,b=±1,r2=2.由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是2)1()1(22yx或2)1()1(22yx点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.4、直线与圆的位置关系例5在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点O，求圆C的方程。解：(1)设圆心坐标为(m，n)（m0，n0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2nm=22即nm=4①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得22nm故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆