解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题【焦半径——椭圆】取弦与焦点轴的锐角为12222111epepep;;|AB|ecosecosecos:短:=结论:长半焦半焦焦点弦121212::=2:=2aex;aex;|AB|ae(xx);|AB|ae(xx)左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦【焦半径——双曲线】取弦与焦点轴的锐角为(1)单支焦点半径12222:=111epepep;;|AB|ecosecosecos:短结论:长半焦半焦焦点弦112::=-2(aex);|AB|ae(xx);左焦半径左焦弦1122::=exa;|AB|e(xx)a;右焦半径右焦弦(2)双支焦点半径12222111:短epepep;;|AB|ecosecosecos:=结论:长半焦半焦焦点弦1122::=aex;|AB|ae(xx);异支左焦半径异支左焦弦1122::=aex;|AB|ae(xx);异支右焦半径异支右焦弦【焦半径——抛物线】取弦与焦点轴的锐角为122211ppp;;|AB|coscossin:=:短结论:长半焦半焦焦点弦1212==yx|AB|xxp;y|AB|yp焦点在轴上焦点在轴上::【焦点弦有关推论——椭圆】取弦与焦点轴的锐角为1、过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点，则21122a|AF||BF|bep2、过双曲线的焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为)2(21122cosacos|AF||BF|pb3、过抛物线的焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为)2(112|AF||BF|p4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有【椭圆焦三角形面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,为弦夹角【椭圆】222122()S(ac)tanbtan22()Sbmnb3()S(ac)(ac)(aq)(aq)【双曲线焦△面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,为弦夹角212b()Stan22()Sbmnb3()S(ac)(ac)(aq)(aq)【抛物线焦点弦与原点△面积】取弦与焦点轴的锐角为2122122424:x:p(xxp)PxS;Ssinsinp(yyp)PS;Ssinsin焦点在轴上焦点在轴上【焦点△顶角】椭圆:2222当时,-aacbcbxcbcc时顶角为钝角双曲线:2222当-或aacbxaaxcbcc时顶角为钝角ABF12axc2bpcMNF2ABF12axc2bpcMNF2一、焦半径与焦点弦2取弦与焦点轴小于的夹角22221xyab焦点弦,准线图【焦半径——椭圆】分析：如上左图,11:22|FA||FB|abe;e;p=-c=|AM||BN|cc根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|FA|epxe|FA|e|AM|e(p|FA|cos)|FA||AM|ecos设焦点弦与轴成角;11111|FB|epe|FB|e|BN|e(p|FB|cos)|FB||BN|ecos12222111::=epepep;;|AB|ecosecosecos小结:长半焦短半焦焦点弦分析：如上右图,1:22|FA|abe;p=-c=|AM|cc根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|FA|epxe|FA|e|AM|e(p|FA|cos)|FA||AM|ecos设焦点弦与轴成角;11111|FB|epe|FB|e|BN|e(p|FB|cos)|FB||BN|ecosABF12ayc2bpcMNF2ABF12ayc2bpcNMF212222111::=epepepx;;|AB|ecosecosecos焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦22221yxab22221yxab分析：如上左图,1:22|FA|abe;p=-c=|AM|cc根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|FA|epxe|FA|e|AM|e(p|FA|cos)|FA||AM|ecos设焦点弦与轴成角;11111|FB|epe|FB|e|BN|e(p|FB|cos)|FB||BN|ecos分析：如上右图,1:22|FA|abe;p=-c=|AM|cc根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|FA|epe|FA|e|AM|e(p|FA|cos)|FA||AM|ecos11111|FB|epe|FB|e|BN|e(p|FB|sin)|FB||BN|esin12222111epepep;;|AB|ecosecosecos:=结论:长半焦半焦焦点弦:短ABMN2bpc2axc【焦半径——双曲线】内部焦点半径2）x(y取弦与或轴小于的夹角22221yxab12222:=111epepep;;|AB|ecosecosecos:短结论:长半焦半焦焦点弦外部焦点半径2取弦与焦点轴小于的夹角AF12axcF2MBNAF12axcF2MBN121212::=2:=2aex;aex;|AB|ae(xx);|AB|ae(xx)左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21aaa|FA|e|AM|e(x)aexc21bba|FB|e|BN|e(x)aexc22aaa|FA|e|AM|e(x)aexc22bba|FB|e|BN|e(x)aexcABMN2bpc2axcM‘MN’NBAABN‘M’NM分析：如上左图,122|FA|abe;p=c=|AM|cc:根据第二定义准线与对应焦点距离11111|FA|xe|FA|e|AM|e(|AM'|p)|AM|epe(|FA|cosp)|FA|ecos设焦点弦与轴成角;11111|FB|epe|FB|e|BN|e(p|FB|cos)|FB||BN|ecos11222111epepep|AB||AF||BF|ecosecosecos分析：如上右图,22221|FA|epe|FA|e|AM|e(|AM'|p)e(|FA|cosp)|FA||AM|ecos22221|FB|epe|FB|e|BN|e(p|FB|cos)|FB||BN|ecos11222111epepep|AB||AF||BF|ecosecosecos12222111焦点在轴上结论:=epepepx;;|AB|ecosecosecos:长半焦半焦焦点弦:短同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)12222111:短epepepy;;|AB|ecosecosecos:=焦点在轴上结论:长半焦半焦焦点弦M‘MN’NBA【焦半径——抛物线】2）x(y取弦与或轴小于的夹角从上图容易得出以下结论122211ppp;;|AB|coscossin:=:短结论:长半焦半焦焦点弦从上图分析12在轴上=x|AB||AM||BN|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|xxp焦点定义:12在轴上=y|AB||AM||BN|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|yyp焦点定义:【焦半径与焦点弦有关推论】【推论1】——常用来求定值21aaa|FA|e|AM|e(x)aexc22aaa|FA|e|AM|e(x)aexc122:==ababababaex;aex|AB|aexaexe(xx)|AB|aexaexae(xx)异左焦半径异右焦半径异左异右ABF12axc2bpcMNF2ABMN2bpc2axc过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点，则21122a|AF||BF|bep过双曲线的一焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为)2(21122cosacos|AF||BF|pb过抛物线的一焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为)2(112|AF||BF|p【推论2】2取弦与焦点轴小于的夹角————常用来求定角或斜率已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（3）当焦点内分弦时，有（4）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有M‘MNBA【（1）分析证明】11111AFBFAMNBAMNB()BF()eecosecosABAFBF()BFe()BF()【（2）分析证明】11111AFBFAM'AMNB()BF()eecosecosABAFBF()BFe()BF()【焦半径与焦点弦有关例题】例1（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿【解】由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。例2（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。【解】（1）这里，，由定理1的公式得，解得。（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。例3（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿【解】易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得，。例4（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿【解】因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。例5（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿【解】设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。例6（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿【解】这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。例7（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）【解】这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。例8（2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。图6【解】由方程可知，，则。设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴的夹角为。代入弦长公式得，，。故四边形的面积为，。所以四边形面积的最小值为。二、圆锥曲线中的焦点三角形面积【椭圆焦三角形】F1F2MmnEFP【分析】rcarcaSrcnmSanm)()22(21)2(2121212222rtan;MFMFa;MEEFMFFFaME1122122222acEFFP;FFFP;FPFPc;ME2221222MEac()S(ac)MEtanS(ac)tanbtan