2017海淀高三期末数学文

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2017.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.复数i(2i)在复平面内对应的点的坐标为A.(2,1)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,2)2.抛物线22yx的焦点到准线的距离为A.12B.1C.2D.33.下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)，上单调递增的是A.1()2xyB.2yxC.2logyxD.||1yx4.已知向量a,b满足20ab=，()2abb，则|b|A.12B.1C.2D.25.右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A.6B.7C.8D.96.在ABC中，“30A”是“1sin2A”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件开始是否是否aabbbaa输出结束,ab输入abab7.已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.233B.433C.2D.5338.如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，,EF分别是棱11,ADBC上的动点，设1,AExBFy.若棱．1DD与平面BEF有公共点，则xy的取值范围是A.[0,1]B.13[,]22C.[1,2]D.3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知双曲线C:2214yx，则双曲线C的一条渐近线的方程为___.10.已知数列na满足12,,nnaan*N且33a，则1a____，其前n项和nS___.11.已知圆2220xyxC:C，则圆心的坐标为___，圆截直线yx的弦长为___.C12.已知,xy满足04,03,28,xyxy则目标函数2zxy的最大值为____.13DAB30CAD如图所示，点在线段上，，50CDB.给出下列三组条件（给出线段的长度）:,ADDB,ACDB,CDDB①；②；③.ABC其中，能使唯一确定的条件的序号为____.（写出所有所和要求的条件的序号）14.已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）.据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”.其中，说法正确的同学是____.主视图俯视图左视图1113212ABCD1D1A1B1CEFADBC三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知数列na是各项均为正数的等比数列，且21a，346aa.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设数列nan的前n项和为nS，比较4S和5S的大小，并说明理由.16.（本小题满分13分）已知函数2sin22cos()cosxxfxx.（Ⅰ）求()fx的定义域及π()4f的值；（Ⅱ）求()fx在π(0,)2上的单调递增区间.17.（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”.为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：表1第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数x；（Ⅱ）从表1诚信度超过91%的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：表2第一周第二周第三周第四周第三个周期85%92%95%96%请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由.18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AB//DC,CD=2AB,AD⊥CD，E为棱PD的中点.（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由.PABCDE19.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为32，直线l过椭圆G的右顶点(2,0)A，且交椭圆G于另一点C.（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若以AC为直径的圆经过椭圆G的上顶点B，求直线l的方程.20.（本小题满分14分）已知函数ln1()xfxx.（Ⅰ）求曲线()yfx在函数()fx零点处的切线方程；（Ⅱ）求函数()yfx的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程()fxa恰有两个不同的实根12,xx，且12xx，求证：2111xxa.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）答案及评分标准2017.1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.C2.B3.D4.C5.C6.A7.B8.C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.2yx或2yx（写出之一即可）10.1，22nn11.(1,0)，212.1013.①②③14.乙三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列na的公比为q，由346aa可得6222qaqa又21a，所以62qq，解得2q或3q，因为0na(1,2,3,)n，所以10nnaqa.所以2q，所以211a，所以，数列na的通项22,(1,2,3,)nnan.（Ⅱ）法1：由数列nan的前n项和nS的意义可得5455SSa，所以52542530SS，所以54SS.法2：21212121nnSnn，所以254S，所以215S，所以54SS.16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由cos0x可得ππ,2xkkZ，所以()fx的定义域为ππ,2xxkkZ.π1122422f.（Ⅱ）2sin22cos()cosxxfxx22sincos2coscosxxxx2sin2cosxxπ22sin4x，法1：函数xysin的增区间为ππ2π,2π,22kkkZ.由πππ2π2π242kxk，kZ，得3ππ2π2π44kxk，kZ，因为π0,2x，所以π04x，所以，()fx在π(0,)2上的单调递增区间为π0,4.法2：因为π(0,)2x，所以ππ3π(,)444x.因为函数xysin在ππ,22上单调递增，所以πππ(,)442x时，π()22sin4fxx单调递增此时π0,4x，所以，函数()fx在π(0,)2上的单调递增区间为π0,4.17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）八周诚信水站诚信度的平均数为x=95+98+92+88+94+94+83+80=90.5%8100.（Ⅱ）表1中超过91%的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为1a、2a、3a，第二个周期有2个，分别记为1b、2b,从这5个数据中任取2个共有10种情况：12131112,,,,aaaaabab232122,,,aaabab3132,,abab12.bb其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况.设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A.则7()10PA.（Ⅲ）有效阐述理由含如下之一理由陈述的可能情况：①第三个周期水站诚信度的平均数92%高于第二个周期的诚信度平均数87.75%；②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势；③第三个周期水站诚信度的平均数92%高于第一、二个周期的诚信度平均数90.5%；④12周的整体诚信度平均数为91%，高于前两个周期的诚信度的平均数90.5%；18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PD⊥底面ABCD，DC底面ABCD，所以PD⊥DC.又AD⊥DC，ADPD=D，故CD⊥平面PAD.又AE平面PAD，所以CD⊥AE.（Ⅱ）因为AB//DC,CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又因为AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（Ⅲ）PB与平面AEC不平行.假设PB//平面AEC，PABCDEO设BDAC=O，连结OE，则平面EAC平面PDBOE，又PB平面PDB----------1分所以//PBOE.所以，在PDB中有OBODPEED，由E是PD中点可得1OBPEODED，即OBOD.因为AB//DC，所以12ABOBCDOD，这与OBOD矛盾，所以假设错误，PB与平面AEC不平行.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题设可得3,22ceaa，解得3c.因为222abc，所以221bac，所以椭圆G的标准方程为2214xy.（Ⅱ）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于0BCBA.由题设可得(0,1)B，所以2,1BA，,1CCBCxy，所以210CCBCBAxy.又(,)CCCxy在椭圆G上，所以2214CCxy，由2221,44CCCCyxxy可得217160CCxx，解得0Cx或1617Cx，所以(0,1)C或1615(,)1717C，所以，直线l方程为220xy或31060xy.（丢一解扣一分）法2：由题意，直线l的斜率一定存在，故设直线l为2ykx，由22(2),44ykxxy可得222214161640kxkxk.0,2216414CAkxxk，又因为2Ax，所以228214Ckxk.由题设可得以AC为直径的圆经过点(0,1)B等价于0BCBA.所以212(2)10CCCCBCBAxyxkx，即222043014kkk.解得12k或310k.所以，直线l方程为220xy或31060xy.（注：丢一解，总体上只扣1分）20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）令0fx，得1ex.所以，函数()fx零点为1e.由ln1()xfxx得221ln1lnxxxxfxxx，所以21eef，所以曲线()yfx在函数()fx零点处的切线方程为210eeyx，即2eeyx.（Ⅱ）由函数ln1()xfxx得定义域为(0,).令()0fx，得1x.所以，在区间(0,1)上，'()0fx；在区间(1,)上，'()0fx.故函数()fx的单调递增区间是01，，单调递减区间是1，.（Ⅲ）由（Ⅰ）可知()fx在1(0,e)上()0fx，在1(e,)上()0fx.由（Ⅱ）结论可知，函数()fx在1x处取得极大值(1)1f，所以，方程()fxa有两个不同的实根12,xx时，必有01a，且112e1xx，法1：所以21()(1ln)()faaafxa，由()fx在(1,)上单调递减可知21xa，所以