数学史论文.

数学史选讲论文题目浅谈刘徽及其著作院系信息工程学院专业11级数教A班学号1140614028姓名段淑娴目录[摘要]..............................................................................................................................1第一章刘徽及著作简介...............................................................................................11.1刘徽简介...............................................................................................................11.2《九章算术》的研究意义....................................................................................21.3刘徽的著作简介...................................................................................................2第二章割圆术和圆周率..................................................................................................42.1割圆术和圆周率...................................................................................................42.2在算法上的贡献...................................................................................................62.3在代数上的贡献...................................................................................................72.4在几何上的贡献...................................................................................................82.5重差术..................................................................................................................9第三章刘徽的数学思想及其影响...............................................................................11参考文献：......................................................................................................................13浅谈刘徽及其著作1浅谈刘徽及著作[摘要]《九章算术》是中国古代最重要的数学著作，它系统总结了中国先秦至西汉的数学成就，奠定了中国传统数学的基本框架并突出其以算法为主的特点。其中分数四则运算、方程的解法、面积与体积的计算等长期领先于世界水平。刘徽出生于公元3世纪（约225～295年），是魏晋时期一位杰出的数学家，是我国古代数学理论的奠基人。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》都是我国最宝贵的数学遗产。刘徽的《九章算术注》，不是简单的对一部古老数学专著的注解，而是把他自己的许多天才性创见和许多研究成果充实到了里边。他经过多年刻苦钻研，对“九章算术”中一些不完整的公式和定理进行了逻辑证明，对一些不是很明确的概念提出了确切而又严格的定义。他使中国古代的一部数学遗产变得更充实完整了。他是世界上最早提出十进小数概论的人，最早给出最小公倍数的严格定义并提出了正负数的概论、加减运算的规则、体积公理等。他最大的贡献是提出了“割圆术”并用“割圆术”求出圆周率π的近似值为3.1416所，奠定了中国圆周率计算在世界的领先地位。而他的《海岛算经》最早创造“重差术”，解决了可望而不可及目标的测量问题。《海岛算经》是中国第一部测量的数学著作，为地图学提供了数学基础。刘徽是博学多识，并极具批判和开创的数学家，堪称数学史上的楷模。[关键词]刘徽；割圆术；重差术；出入相补；不宜之率；齐同术第一章刘徽及著作简介1.1刘徽简介刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东临淄人，是魏晋期间伟大的数学家，是我国古代数学理论的奠基人(图1)。汉末至魏晋是我国继春秋战国百家争鸣之后第二次思想大解放时期。刘徽深受思想界辩难之风的影响，《九章算术注》的宗旨是“析理以辞，解体用图”。刘徽出生平民，终身未仕，被称为“布衣”数学家。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》(图3)，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽的思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽一生都是为了刻苦探求数学真理，并给中浅谈刘徽及其著作2华民族留下了宝贵的财富。他曾从事过度量衡考校工作，研究过天文历法，还进行过野外测量，但他主要还是进行数学研究工作。1.2《九章算术》的研究意义《九章算术》是中国古代最重要的数学著作，它系统总结了中国先秦至西汉的数学成就，奠定了中国传统数学的基本框架并突出其以算法为主的特点。其中分数四则运算、方程的解法、面积与体积的计算等长期领先于世界水平。《九章算术》是以应用问题的形式表达出来的。一共收入了246个问题，按数学性质不同共分为九章。第一章“方田章”38个问题。主要介绍田亩面积的计算。第二章“粟米章”46个问题。主要讲解各种比例的算法。第三章“衰分章”20个问题。是按比例分配的问题。第四章“少广章”24个问题。是讲开平方、开立方的计算方法。第五章“商功章”28个问题。是介绍各种形状的体积计算方法。第六章“均输章”28个问题。是讲如何按人口数量，路途远近等条件合理安排各地的赋税及分派工役等问题的计算方法。第七章“盈不足章”20个问题。是讲解算术中盈亏问题的解法及比例问题。第八章“方程章”18个问题。是讲联立方程组的解法。第九章“勾股章”24个问题。是应用勾股定理求解应用问题。1.3刘徽的著作简介他反复地学习和研究了《九章算术》(图2)。公元263年，也就是距今1700年前的时候，他就全面系统地为《九章算术》注释了10卷。《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃。逻辑思想、转化思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和辩证思想等均是刘徽数学思想的真实体现。刘徽集中了古代数学家的各种优秀思想方法,并加以创新而用于数学研究以使《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化,并上升到了一个新的阶段,他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表,也堪称世界数学泰斗。刘徽的《九章算术注》不单单是简单的对一部古老数学专著的注解，而是把他自己的许多研究成果充实到了其中。他经过多年刻苦钻研，对“九章算术”中一些不完整的公式和定理进行了逻辑证明，对一些浅谈刘徽及其著作3不是很明确的概念提出了确切而又严格的定义。他用严密的数学语言描述了有关数学的概念，提出并定义了许多数学概念,从而改变了靠约定俗成确定数学概念的涵义的方式。他使中国古代的一部数学遗产变得更充实与完美。刘徽具有高度的抽象概括数学思想的能力。他善于在深入实践的基础上精炼出一般的数学原理，并解决了许多重大的理论性问题。刘徽的数学在世界上取得了十大领先，它们是：1.他最早提出了分数除法法则。2.他最早给出最小公倍数的严格定义。3.他最早应用小数。4.他最早提出非平方数开方的近似值公式。5.他最早提出负数的定义及加法法则。6.他最早把比例和“三数法则”结合起来。(假如a：b=c：x，则x=abc)。7.他最早提出一次方程的定义及完整解法。8.他最早创造出割圆术，计算出圆周率即“徽率”。9.他最早用无穷分割法证明了圆锥体的体积公式。10.他最早创造“重差术”，解决了可望而不可及目标的测量问题。“重差术”是《海岛算经》的中心思想。《海岛算经》是刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，主要是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具全都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。所有问题都是利用两次或多次测量所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，故得名。从刘徽的《九章算术注》和《海岛算经》中看出，他治学严谨，实事求是。浅谈刘徽及其著作4图1刘徽图2《九章算术》图3《海岛算经》第二章割圆术和圆周率2.1割圆术和圆周率刘徽所提出的“割圆术”背后还有个小故事。当时刘徽在计算圆周率的时候找不到好方法时，偶然看到石匠吧石料从八边形变成十六边形，最后变成圆柱。从中联想到计算圆周率也可以使用相似的方法，便发发明了割圆术。割圆术是利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。在公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和阅柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于722。而到公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题才设计一种方法：先在圆内作一个内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次将其边数加倍，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或50157，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值12503927(约等于3.1416)。刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率的计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。浅谈刘徽及其著作5正6边行正12边形正24边形正48边形刘徽的“割圆术”的思想就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积。刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算．他利用公式21..2nnrns(n1为内接正n边形的边长，ns2为内接正2n边形的面积)来求各正多边形面积。至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的。例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图4)：22PTOPOT21..2nnrns22TRPTOT刘徽求得62558431396S（平方寸）和62564314192S（平方寸）后根据：)(96192192192SSSSS得6251056256431462564314S（S为圆的面积）