武汉大学至学期期末测验考试线性代数B试题

武汉大学2007至2008第二学期期末考试线性代数B试题武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数B》（A卷，工54）学院专业学号姓名矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效.一、（10分）计算下列行列式；1.;2.若都是四维列向量，且四阶行列式求四阶行列式.二、（10分）若有不全为零的数使成立，则线性相关，也线性相关.试讨论该结论是否正确？三、（12分）设3阶方阵，试求：1、的特征值和特征向量；2、（为正整数）及其特征值和特征向量.四、（15分）当为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程组的解.五、（15分）设二次型其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为1、的值；2、用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换与正交矩阵.六（18分）在四维实向量构成的线性空间中,已知：；.1、求使为的基；2、求由基的过渡矩阵；3、设线性变换为：,求在基下的变换矩阵C.七（20分）1.设阶方阵的伴随矩阵为证明：若则；2.设为阶矩阵，且满足，，，证明：.武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数B》（工54，A卷答案）一、1、从第2行开始，每一行乘以（-1）加到上一行，然后从第1列开始，每列加到后1列，得2、由行列式的性质，可得.二、由题设能断定向量组线性相关，但其部分向量组不一定别线性相关.例如取则当时，有从而线性相关，但其部分向量组却分别线性无关.三、1、，故的特征值为.当时，解线性方程组，由，可得基础解系，故对应于的全部特征向量为（）；当时，解，可得基础解系，，故对应于的全部特征向量为(不全为零）；2、令，则有，即有，从而.的特征值为.且的特征值对应的特征向量与相应特征值对应的特征向量相同.四、解:对方程组的增广矩阵施以初等行变换：（1）当且时，从而方程组有惟一解.（2）当时，由于方程组无解.（3）当时，有可见故方程组有无穷多组解.又由此可得与原方程组同解的方程组为令得其特解与原方程组的导出组同解的方程组为：由此可得基础解系为于是，原方程组的全部解为其中是任意常数.五、1、次型的矩阵为设的特征值为由题设，有解得2、矩阵的特征多项式得的特征值对于解方程组得其基础解系对于解齐次线性方程组得基础解系由于已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得令矩阵则为正交矩阵.在正交变换下，有且二次型的标准形为六、解：1、；2、设,,则，.设,则3由,求在基下的变换矩阵C=P.七、1、下分两种情况证明：（1）若此时显然有因而（2）若此时因有下证用反证法证之.若则为可逆矩阵，存在，由得到即这与矛盾，故再由（1）与（2）知，若则2、证:因为，，由为可逆矩阵，可得：，，所以，.