勾股定理专题复习及题型讲解

1勾股定理复习一、要点精练（一）勾股定理1、(填空题)已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。2、(填空题)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；[来源:学科网]②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。[来源:学。科。网]3、下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）（A）1,2,3（B）2,3,4（C）3,4,5（D）4,5,64、直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A）22dSd（B）2dSd（C）222dSd（D）22dSd解:设两直角边分别为,ab,斜边为c,则2cd,12Sab.由勾股定理,得222abc.所以222222444abaabbcSdS.所以22abdS.所以abc222dSd.故选（C）5、直角三角形的三边是,,abaab,并且,ab都是正整数,则三角形其中一边的长可能是()（A）61（B）71（C）81（D）91解:因为abaab.根据题意,有222ababa.整理,得24aab.所以4ab.所以3,5abbabb.即该直角三角形的三边长是3,4,5bbb.因为只有81是3的倍数.2故选（C）6、在RtABC中,3,5ac,则边b的长为______.7、直角三角形的三边是,,abaab,并且,ab都是正整数,则三角形其中一边的长可能是()（A）61（B）71（C）81（D）91（二）勾股定理的验证及其验证过程的相关应用1、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2、（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？3参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3,S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25即AB2=25，又AC=4，BC=3，AC2+BC2=42+32=25∴AB2=AC2+BC2（2）如图（图见题干中图）S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+723、如图2，以三角形ABC的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.解:根据题意，有123SSS，即222111222222abc.整理,得222abc.故此三角形为直角三角形.4、如图4，已知ABC中，90ACB，以ABC的各边为边在ABC外作三个正方形，123,,SSS分别表示这三个正方形的面积，1281,225SS，则3_____.S解：由勾股定理，知222ACBCAB，即123SSS，所以3114S．5．如图5,已知，RtABC中，90ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210ADBE，则斜边AB之长为______.解：AD、BE是中线，设,BCxACy，由已知，图545,25ADBE，所以222240,25.22yxxy两式相加，得225654xy，所以2252213.ABxy（三）勾股定理的应用1、在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）（A）30（B）40（C）50（D）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125，所以这个直角三角形的面积为1125302.2、如图1,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移()(A)0.6米(B)0.7米(C)0.8米(D)0.9米解:依题设112.5,0.7ABABBC.在RtABC中,由勾股定理,得22222.50.72.4ACABBC由12.4,0.4ACAA,得112.40.42ACACAA.在11RtABC中,由勾股定理,得222211112.521.5BCABAC所以111.50.70.8BBBCBC故选(C)3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解：由勾股定理，知最短距离为222288210BDACABCD.4、（四）直角三角形的判别图151、下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是A、a=2，b=3,c=4B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=52、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是30，那么这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3、4、如图，在等腰直角ABC的斜边上取异于CB,的两点FE,,使,45EAF求证：以CFBEEF,,为边的三角形是直角三角形。略(提示:分别以AE,AF为轴,将AEFAFC向和AEB内部翻转180)5、如果一个三角形的三边长分别为，则这三角形是直角三角形分析：验证三边是否符合勾股定量的逆定理证明：∵∴∵∠C＝6、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和．（五）利用勾股定理求最短路线1、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入6一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．（1）记正方形ABCD的边长为1a＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a，3a，4a，…，na，求出2a，3a，4a的值．（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长na的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC＝222ABBC，图17同理，AE=2，EH=22．即a2=2，a3=2，a4=22．(2)∵011(2)a，122(2)a，232(2)a，3422(2)a，∴1(2)nna1,nn是自然数．点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．图（２）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（２）用这个图形证明勾股定理；（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为211()()()22ababab．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：2111222ababc．∴221111()2222abababc．∴222abc．（3）所拼图形如图4．点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。三、阅读理解题例3已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．8解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴2222222cababab∴222?cab．订正：∴△ABC是直角三角形．横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴2222222cababab．∴222220abcab，∴220ab或222cab．∴ab或222cab．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．四、方案设计题例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案．分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决．解：方案一：分别截取3cm，4cm，5cm；方案二：分别截取6cm，8cm，10cm；方案三：分别截取5cm，12cm，13cm．点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．五、折叠题1、矩形纸片ABCD中，3AB厘米，4BC厘米