高中数学基本不等式教案

1《基本不等式》教学设计方案人教版（A版）普通高中课程标准试验教科书必修第五册【教学目标】1、知识与技能目标（1）掌握基本不等式2abab,认识其运算结构；（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。2、过程与方法目标（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程。【教学难点】基本不等式2abab等号成立条件。【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合【教学工具】课件辅助教学、实物演示实验【教学过程设计】一、创设情景，引入新课如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相等和不等关系？2赵爽弦图1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为22ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。2．得到结论：一般的，如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为222)(2baabba当22,()0,,()0,abababab时当时所以，0)(2ba，即.2)(22abba4．基本不等式1）特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a、b，可得2abab，通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab2）从不等式的性质推导基本不等式2abab用分析法证明：要证2abab(1)3只要证baab2(2)要证（2），只要证a+b-ab20（3）要证（3），只要证（a-b）20（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。3）理解基本不等式2abab的几何意义如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？引导学生发现：2ab表示圆的半经，ab表示半弦长CD,得到不等关系：ab≤2ab(0,0ba)易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝ab.这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.几何意义：半弦长不大于半径长。我们称ab为正数ba,的几何平均数，称2ba为正数ba,的算术平均数。代数意义：几何平均数小于等于算术平均数5.随堂练习已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：abba2（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果。解：∵a，b，c都是正数∴a＋b≥2ab＞0b＋c≥2bc＞0c＋a≥2ac＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.【课时小结】4本节课，我们学习了重要不等式222abab；两正数a、b的算术平均数（2ab），几何平均数（ab）及它们的关系（abba2）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：222baab,2)2(baab.思想方法技巧：（1）数形结合思想、“整体与局部”（2）换元法、分析法（3）配凑等技巧【板书设计】课题:§3.4基本不等式2abab（第1课时）1.课题导入基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。2．总结结论：3．思考证明：你能给出它的证明吗？3.随堂练习4.课时小结