证据理论简介

D-S证据理论简介吴有光写于2014年1月21日，仅供学术讨论，不得用于商业目的。一、一个包含不确定性的例子奥巴马某天走在路上很苦恼，他在为怎么找到金三胖并拿钻地炸弹钻死他而苦恼。奥巴马的钻地炸弹上面的导航仪是从中国某个山寨厂家订的，这个坑爹的导航仪只能识别白色衣服。但万幸的是，三胖只会穿黑色或者白色衣服。奥巴马对于三胖的恶劣行为已经无法忍受了，哪怕一天，或者一秒。于是，他决定，如果确定明天三胖穿白色衣服，那么就用钻地炸弹钻死他；如果明天三胖穿黑色，那么就在家里画圈圈诅咒他。现在奥巴马的问题变为：明天三胖到底是穿黑色衣服还是白色衣服？奥巴马的情报来源是两个地方，坑爹的中央情报局CIA和坑妈的军情六处MI6。这两个情报机构每天都会奥巴马汇报第二天的金三胖穿衣情况。奥巴马的问题进一步转化为：如何融合CIA和MI6的情报判断明天三胖到底穿不穿白色衣服。于是我们建立三胖的穿衣元素为集合，其所有的子集构成的全集为，其中：(i),情报准确，肯定为白色的情况；(ii),情报准确，表示肯定为黑色的情况；(iii),表示或者为黑色或者为白色，情报不准，且不知道其中和的可能性各为多少；(iv),表示空集。注意，第(iii)情况不能包含第(i)或(ii)种情况，即四种情况是互不包含的。中情局在前一天得到金三胖第二天的穿衣可能为：。（1）集合之间的关系，和。这几个集合之间的关系集中在这玩意儿上，它包含了部分的可能，也包含了部分的可能。在证据推理中，认为=，所以。这直接造成了，和二者可能性之和不为1！！！这其实是可以直观解释的，问题做一定的转化，比如：问：中情局认为三胖穿白色衣服的概率为多少？回答：。问：中情局认为三胖不穿白色衣服的概率为多少？回答：这应该是所有不含白色的子集的概率之和，即。注意：穿和不穿白色衣服的概率之和，并不为1。所以中情局又称KD-CIA（坑爹CIA）。那么的补集到底是什么？应该是，在本例中，应该是。这个集合在D-S证据推理的理论推导中并不常见。那么的补集又是什么？应该是，在本例中，应该是。这个集合在D-S证据推理的理论推导中经常出现。再回头看看，表示肯定为白色，表示肯定不是白色，这二者的直和并不是全集，因为还存在“有可能是白色有可能是黑色”的情况，因为我们假设了“肯定是白色”和“有可能是白色有可能是黑色”是互不包含的。（2）概率之间的关系根据集合之间的关系，可以得到如下的关系因为，所以；因为的补集是，所以+=1；因为补集为，所以+=1。关键的关键，就是要理解在这种允许模糊推理情况下的，A和非A并不构成直接的互补关系。在本例中，，===0.2+0=0.2。于是+=0.3+0.21.0。二、三个函数的定义根据上面的例子，下面规范一下符号，其中代表，代表。称为样本空间，其元素为和；的所有子集组成了另外一个全空间，可以称为取值空间，即。CIA对于每一种取值可能的赋值函数，即前面提到的函数，我们称为概率分配函数，也就是坑爹的CIA把全概率1怎么样分配给各种取值可能，以用来糊弄奥巴马。当情报准确时，我们得到可以信任的概率，比如=0.3，这个0.3是可以信任的，所以称为信任函数，写为，为取到的那个子集，这里。情报里含有不准确的情况，引发了另一个问题，三胖穿白色衣服的最大可能是多少？显然应该是==0.3+0.2=1-=1-(0.5+0)=0.5。这个取值，我们也定义一个函数来表示它，因为这是最大可能性，所以称为似然函数，即来表示。于是我们有了三个函数：概率分配函数、信任函数和似然函数。信任函数和似然函数之间必然有：，二者的关系如图1：图1bel和pl函数关系图在本例中，如果取，则有。现在可以看到坑爹的中情局的坑爹程度了，也就是他给出的情报的模糊程度（不确定程度）为=0.2，也就是最可能穿白色和肯定穿白色之间区间的大小。其实，仔细观察，就知道这个区间的大小是由那个不确定性子集的概率不为0所产生的，即。这个区间越大，说明坑爹程度越高，奥巴马将会越抓狂。三、DS证据推理福无双至，祸不单行。当奥巴马对CIA失望透顶，转而向MI6投来期盼的目光时，MI6充分显露了他的坑妈本性，他对金三胖明天穿衣的预测为：。指望不上这这俩傻兄憨弟，奥巴马怀揣干粮，跋山涉水，翻山越岭穿越回1976年，找到哈佛数学家ArthurP.Dempster，要求根据(1)(2)告诉他明天三胖穿白色衣服的概率到底多少。Prof.ArthurP.DempsterProf.GlennShafer即求。Dempster悄悄的把他和Shafer发明的办法告诉了奥巴马。奥巴马如获至宝，蹦蹦跳跳的回去准备他的钻地炸弹去了。那么Dempster到底怎么计算的呢？Dempster把CIA和MI6看做两个不同的信息源，融合二者的数据以得到的公式为：(3)也就是，Dempster认为CIA和MI6都是对同一样本空间的取值可能进行概率分配，那么应该跟二者中任何一个认为三胖穿白衣的子集有关，不过并不是直接相等的关系，需要一个加权。权重计算为：(4)这里显然=++=0.3*0.7+0.5*0.4+0.2*1=0.21+0.2+0.2=0.61。于是，最后的公式为(5)或者写为(6)推而广之，假设样本空间为，则取值空间。设有个信息源，其概率分配函数为。对取值空间任一子集的判决为：(7)其中如下定义：(8)四、结束语D-S证据推理满足比贝叶斯概率论更弱的条件，具有直接表达“不确定”和“不知道”的能力，显然是用于综合不同信息（知识）来源的好办法。貌似可以用在多源信息融合、情报分析、多属性决策等，特别是综合专家的意见的时候（因为专家爱扯淡，东扯扯，西扯扯，貌似什么都说了，又貌似什么都没说）有人说DS证据推理存在以下问题，等你去突破：1，要求证据独立，但很多时候并不满足。如果证据不独立如何处理？2，证据合成规则理论支持还不够坚固。3，计算上存在指数爆炸问题。需要了解更详细的D-S证据推理，自己网上找资料去。更进一步的讨论，已经不属于本文的内容，不过你已经读完本文，应该可以回答下面的问题了。请问：到底三胖穿白衣的概率是多少？（计算依据为公式（5），如果你实在看不懂那些集合之间的包含关系，那么参照我根据公式（4）计算的过程）追问：奥巴马家炸弹多，当三胖穿白衣可能性高于0.5时，即用钻地炸弹，请问奥巴马最后有没有钻死金三胖？（未完待续）