周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。复指数信号的傅里叶变换对于复指数信号tjetf0)(t因为)(21由频移性)(21)(210000tjtjee(3-76)复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于0，强度为2的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。二、余弦、正弦信号的傅里叶变换对于余弦信号2cos)(0001tjtjeettft其频谱函数)(2)(221)(001jF)()(00(3-77)对于正弦信号jeettftjtj2sin)(0002t有)(2)(221)(002jjF)()(00j(3-78)它们的波形及其频谱如图3-25所示。ttf01cos)(1t-1ttf02sin)(1t-1)(1jF．．．．．．000)()()(Im2jF．．．．．．00)()(0图3-25三、单位冲激序列)(tT的傅里叶变换若信号)(tf为单位冲激序列，即nTnTtttf)()()((3-79)则其傅里叶级数展开式为nntjeTtf1)((3-80)对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得nnnnTjF)()(21)((3-81)式中T2。可见，时域周期为T的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为，冲激强度相等，均为。周期单位冲激序列波形、傅里叶系数nF与频谱函数)(jF如图3-26所示。)(tft．．．．．．(1)TTTT202nF．．．．．．202T1)(jF．．．)(202(a)(b)(c)图　3-26四、一般周期信号的傅里叶变换对于一般周期为T的周期信号)(tf，其指数型傅里叶级数展开式为ntjnneFtf)(式中T2,22)(1TTtjnndtetfTF.对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到nF与时间t无关，可得nnnnnFnFjF)(2)(2)((3-82)式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率),2,1,0(nn处，其强度为相应傅里叶级数系数nF的2倍。可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号)(tf的傅里叶变换)(jF不同于傅里叶系数nF，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。例3-20图3-27(a)表示一周期为T，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为)(tPT。试求其频谱函数。)()(tPtfT1tTT/202/(a))(jF(b)图3-27解由式(3-26)可知，图3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号)()(tPtfT的傅里叶系数为)2(nSaTFn代入式(3-82)，得)()2(2)()(nnSaTtPjFnnnnn)()2sin(2（3-83）式中T2。可见，周期矩形脉冲信号)(tPT的傅里叶变换由位于,2,,0处的冲激函数所组成，其在n处的强度为nn)2sin(2。图3-27(b)给出了2T情况下的频谱图。