幂级数幂级数-三角级数三角级数

常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一般项级数一般项级数正项级数正项级数幂级数幂级数三角级数三角级数收敛半径R收敛半径R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函数函数数数交错级数交错级数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数0)(→xR为常数nu)(xuunn为函数满足狄氏条件0xx=取在收敛级数与数条件下相互转化∑∞=1nnu一、主要内容+++++=∑∞=nnnuuuuu32111、常数项级数常数项级数收敛(发散)⇔nns∞→lim存在(不存在).∑==+++=niinnuuuus121级数的部分和定义级数的收敛与发散性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和..0lim=∞→nnu级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若ssn→;,0,则级数发散当→∞→nun一般项级数4.绝对收敛定义0,1≥∑∞=nnnuu.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns⇔2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法若∑∞=1nnu收敛(发散)且)(nnnnvuuv≤≤,则∑∞=1nnv收敛(发散).(2)比较审敛法的极限形式设∑∞=1nnu与∑∞=1nnv都是正项级数,如果lvunnn=∞→lim,则(1)当+∞l0时,二级数有相同的敛散性;(2)当0=l时，若∑∞=1nnv收敛,则∑∞=1nnu收敛;(3)当+∞=l时,若∑∞=1nnv发散,则∑∞=1nnu发散;设∑∞=1nnu为正项级数,如果0lim=∞→lnunn(或∞=∞→nnnulim),则级数∑∞=1nnu发散;如果有1p,使得npnun∞→lim存在,则级数∑∞=1nnu收敛.(3)极限审敛法(4)比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)设∑∞=1nnu是正项级数,如果)(lim1∞+ρρ=+∞→数或nnnuu则1ρ时级数收敛;1ρ时级数发散;1=ρ时失效.(5)根值审敛法(柯西判别法)设∑∞=1nnu是正项级数,如果ρ=∞→nnnulim)(∞+为数或ρ,则1ρ时级数收敛;1ρ时级数发散;1=ρ时失效.定义正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu∑∑∞=∞=−−−111)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1=≥+nuunn;(ⅱ)0lim=∞→nnu,则级数收敛,且其和1us≤,其余项nr的绝对值1+≤nnur.)0(nu其中3、交错级数及其审敛法定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理若∑∞=1nnu收敛,则∑∞=1nnu收敛.定义:若∑∞=1nnu收敛,则称∑∞=0nnu为绝对收敛;若∑∞=1nnu发散,而∑∞=1nnu收敛,则称∑∞=1nnu为条件收敛.4、任意项级数及其审敛法5、函数项级数(1)定义设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI⊆上的函数,则++++=∑∞=)()()(211xuxuxunn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.(2)收敛点与收敛域如果Ix∈0,数项级数∑∞=10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn∑∞=的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1xunn∑所有发散点的全体称为发散域.∞=的所有收敛点的全体称为收敛域,(3)和函数在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.(1)定义形如nnnxxa)(00∑∞=−的级数称为幂级数.,00时当=xnnnxa∑其中na为幂级数系数.6、幂级数∞=0如果级数∑∞=0nnnxa在0xx=处发散,则它在满足不等式0xx的一切x处发散.定理1(Abel定理)如果级数∑∞=0nnnxa在)0(00≠=xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;(2)收敛性如果幂级数∑∞=0nnnxa不是仅在0=x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx−==与时,幂级数可能收敛也可能发散.推论定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.定理2如果幂级数∑∞=0nnnxa的所有系数0≠na,设ρ=+∞→nnnaa1lim(或ρ=∞→nnnalim)(1)则当0≠ρ时,ρ=1R;(3)当+∞=ρ时,0=R.(2)当0=ρ时,+∞=R;a.代数运算性质:加减法∑∑∞=∞=±00nnnnnnxbxa.0∑∞==nnnxc(其中{}21,minRRR=)nnnbac±=()RRx,−∈,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设∑∑∞=∞=(3)幂级数的运算乘法)()(00∑∑∞=∞=⋅nnnnnnxbxa.0∑∞==nnnxc()RRx,−∈(其中)0110bababacnnnn⋅++⋅+⋅=−除法∑∑∞=∞=00nnnnnnxbxa.0∑∞==nnnxc)0(0≠∑∞=nnnxb收敛域内b.和函数的分析运算性质:幂级数∑∞=0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR−内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.幂级数∑∞=0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR−内可积,且对),(RRx−∈∀可逐项积分.幂级数∑∞=0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR−内可导,并可逐项求导任意次.7、幂级数展开式如果)(xf在点0x处任意阶可导,则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(−∑∞=称为)(xf在点0x的泰勒级数.nnnxnf∑∞=0)(!)0(称为)(xf在点0x的麦克劳林级数.(1)定义定理)(xf在点0x的泰勒级数,在)(0xUδ内收敛于)(xf⇔在)(0xUδ内0)(lim=∞→xRnn.(3)唯一性(2)充要条件定理如果函数)(xf在)(0xUδ内能展开成)(0xx−的幂级数,即nnnxxaxf)()(00−=∑∞=,则其系数),2,1,0()(!10)(==nxfnann且展开式是唯一的.(3)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann=求,)(0lim)2()(MxfRnnn≤=∞→或讨论).(xf敛于则级数在收敛区间内收b.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.),(!1!2112+∞−∞∈+++++=xxnxxenx++−+−+−=+)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(+∞−∞∈x+−+−+−=)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),(+∞−∞∈x(4)常见函数展开式)1,1(−∈x++−−++−++=+nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα)1ln(x++−+−+−=−nxxxxnn132)1(3121]1,1(−∈x(5)应用a.近似计算b.欧拉公式,sincosxixeix+=,2cosititeet−+=,2sinieetitit−−=(1)三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx.],[上的积分等于零任意两个不同函数在正交性ππ−,0cos=∫ππ−nxdx,0sin=∫ππ−nxdx三角函数系8、傅里叶级数⎩⎨⎧=π≠=∫ππ−nmnmnxdxmx,,0sinsin⎩⎨⎧=π≠=∫ππ−nmnmnxdxmx,,0coscos0cossin=∫ππ−nxdxmx),2,1,(=nm其中(2)傅里叶级数∑++∞=10)sincos(2nnnnxbnxaa定义三角级数其中⎪⎩⎪⎨⎧∫=π=∫=π=ππ−ππ−),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称为傅里叶级数.∑++∞=10)sincos(2nnnnxbnxaa(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)设)(xf是以π2为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则)(xf的傅里叶级数收敛,并且(1)当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf;(2)当x是)(xf的间断点时,收敛于2)0()0(++−xfxf;(3)当x为端点π±=x时,收敛于2)0()0(−π++π−ff.如果)(xf为奇函数,傅氏级数nxbnnsin1∑∞=称为正弦级数.(4)正弦级数与余弦级数当周期为π2的奇函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(sin)(2),2,1,0(00=π===∫πnnxdxxfbnann当周期为π2的偶函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(0),2,1,0(cos)(20===π=∫πnbnnxdxxfann如果)(xf为偶函数,傅氏级数nxaanncos210∑+∞=称为余弦级数.奇延拓:⎪⎩⎪⎨⎧π−−−=π≤=0)(000)()(xxfxxxfxF令的傅氏正弦级数)(xf.sin)(1∑∞==nnnxbxf)0(π≤≤x(5)周期的延拓偶延拓:⎩⎨⎧π−−π≤≤=0)(0)()(xxfxxfxF令的傅氏余弦级数)(xf∑∞=+=10cos2)(nnnxaaxf)0(π≤≤x式为则它的傅里叶级数展开的条件满足收敛定理的周期函数设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnnπ+π+=∑∞=式的周期函数的傅氏展开周期为l2)6(),2,1,0(,cos)(1=π=∫−ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1=π=∫−ndxlxnxflblln二、典型例题;)1()1(:11∑∞=++nnnnnnn判断级数敛散性例1解nnnnnnnnu)1(1+⋅=,)11(21nnnn+=nnnnnnn122])11[(lim)11(lim2+=+∞→∞→∵;10==exxnnxn11limlim∞→∞→=}ln1limexp{xxx∞→=}1limexp{xx∞→=;10==e,01lim≠=∴∞→nnu根据级数收敛的必要条件，原级数发散．;23cos)2(12∑∞=πnnnn解,223cos2nnnnnnuπ=,2nnnv=令nnvvnnnnnn221limlim11⋅+=++∞→++∞→∵nnn21lim+=+∞→,121=,21收敛∑∞=∴nnn根据比较判别法，原级数收敛．敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数∑∞=−−1ln)1(nnnn例２解,1ln1nnn−∵,11发散而∑∞=nn,ln1ln)1(11发散∑∑∞=∞=−=−−∴nnnnnnn即原级数非绝对收敛．,ln)1(1级数是交错∑∞=−−nnnn由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim+∞→+∞→=∵,01lim==+∞→xx,0ln11limln1lim=−=−∴+∞→+∞→nnnnnnn),0(ln)(−=xxxxf∵),1(011)(−=′xxxf,)(),1(单增上在xf+∞∴,ln1单减即xx−,1ln1时单减当故−nnn),1()1ln()1(1ln11=+−+−=∴+nunnnnunn所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．.)1)(1(0敛域及和函数收求级数∑∞=−+nnxn例３,1)1)(1(0=−+∑∞解=Rxnnn敛半径为的收∵,111−−x收敛域为,20x即则有设此级数的和函数为),(xs.)1)(1()(0∑∞=−+=nnxnxs两边逐项积分∑∞=+−=011)1(nxnx∑∫∫∞=−+=011)1)(1()(nxnxdxxndxxs∑∞=+−=01)1(nnx)1(11−−−=xx,21xx−−=求导，得两边再对x)21()(′−−=xxxs.)2(12x−=.1ln