2015中考数学专题复习线段的和差最值复习

专题复习----“线段和（差）的最值”我们初中数学中学习过的平面图形有线段、角、三角形、四边形和圆，而线段和的最值问题都基于图形的轴对称性来确定问题中点的位置，从而求线段和的最值，同时这部分题目的考查也会渗透在平面直角坐标系和函数的题目中，因此将这块放在二轮复习中进行专题复习。从历年的中考数学题型来看，经常会考查距离最值的问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何极值问题在教材中虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。初学时大家的认知水平和理解水平有限，处理这类问题时我们并没有进行拓展和延伸，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的。本课我们共同来解决线段和的最值问题课本原型（七年级(下)）•如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？ABPA`P•理论依据：两点之间，线段最短•用途：求两条线段和的最小值应用：求两条线段和的最小值模型一：（两点同侧）：如图1，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。模型二：（两点异侧）：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。B'lPA图1BABlP图2【典型例题】例1.（“两定一动”）如图，在直角坐标系中，点A(3,4)，B(0,2)，点P为x轴上一动点，求当PA+PB最小时点P的坐标．yxBAOP类型“两点同侧”在x轴上确定一点P使PA+PB最小，因此先作B（A）关于x轴的对称点B′（A′），连接AB′与x轴的交点即为所求的点P。由B(0,2)，所以B′(0,-2)，因为A(3,4)，所以易求直线AB′：y=2x-2,所以点P（1，0）B′变式训练如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为ABONMPB′【典型例题】例2.（“两动一定”）如图，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，请你求出BM+MN的最小值．24ABCDNMN′N′解析：AD是角平分线，所以具有轴对称，先作N′与N关于AD对称，所以MN′=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN′最小，所以当B，M，N′在一条直线上时最小，此时为BN′的长度，而BN′最小时即为BN′与AC垂直时最小，易求得BM+MN的最小值为4变式训练练习1，如图，正方形ABCD的边长为4，∠CDB的平分线DE交BC于点E，若点P,Q分别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最小值（）A.2B.C.4D.2224ABCDQPE【变式训练】练习2，如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的动点，求△PQR周长的最小值．BPAOP1P2QR【典型例题】例3.(“两动两定”)如图，直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使AP＋PQ＋QB最小。QPA′B′解析：由前面的知识积累可以得知：先作出点A′与A关于直线l1对称，则PA=PA′，然后再作B′与B关于l2对称，则QB=QB′连接A′B′交l1，l2于点P，Q，则AP+PQ+QB=PA′+PQ+QB′，当四点共线时，AP+PQ+QB最小。ABOl1l2【变式训练】已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长最短.xyAOBA′DCB′反思总结此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，这些问题的设置背景有都有一个共同点，那就是：都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建奶站问题”的数学模型，再通过找定直线（在那条直线上确定点就作定点关于这条直线的对称点）的对称点，从而将问题转化为上面的类型进行求解，但有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此类问题中会含有定长的线段，依然可以转化为“建奶站问题”来进行求解。【课时练习】1、如图1，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的一点，若AE=2，EM+CM的最小值为________。2、如图2，菱形ABCD中，∠BAD=600，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为________.图1图23.如图，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一动点，PA+PC的最小值为________。4．在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是．图3AOBCABCDPE图4课本原型（七年级（下））•如图所示，在三角形ABC中，分别量出三个三角形的三边长度，计算三角形的任意两边之差并与第三边比较，你能得到什么结论？BAC即：三角形任意两边之差小于第三边AB-AC﹤BC应用：求两条线段差的最大值A、理论依据：三角形两边之差小于第三边B、用途：求两条线段差的最大值当P在直线运动到D时，（AB－AC）取最大PBCD【常见模型】模型一：两点同侧：如图1，点P在直线l上运动。画出一点P，使|PA－PB|取最大值；模型二：两点异侧：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P,使|PA－PB|取最大值；PBAlB'BPAl图1图2【典型例题】例1：已知：点A(0,1)，B(3,4)，点P在x轴上运动时，当|PA-PB|的值最大时，求出此时点P的坐标yxOABPP分析：“两点同侧”当点P、A、B不在一条直线上时，|PA-PB|AB，所以当|PA-PB|的值最大时，此时点p、A、B在一条直线上，即直线AB与x轴的交点为P。解析：当|PA-PB|取最大时，此时点P、A、B在一条直线上，设直线AB：y=kx+b将A(0,1)B(3,4)代入解得k=1,b=1所以直线AB：y=x+1，又因为点P在x轴上，易求点P（-1，0）【典型例题】例2：已知：点A(0,1)，B(3,0)，点P在直线x=2上运动时，当|PA-PB|的值最大时，求出此时点P的坐标yxOABx=2PB1P分析：“两点异侧”由题知：|PA-PB|AB，所以当|PA-PB|的值最大时，先找出点B关于直线x=2的对称点Bl，连接AB与直线x=2的交点即为所求点P，此时满足：|PA-PB|的值最大；解析：点B与点Bl关于直线x=2对称，B（3,0），得B′（1，0）；易求直线AB′：y=-x+1,因为点P在x=2上，所以联立可解得：P(2,-1)设计设想•从近年的中考数学题型来看，经常考查距离最值的问题，而这部分题目在中考分析中，失分率很高，应该引起我们的重视，几何极值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。学生对几何极值模型的陌生由于当时的学生理解水平有限等条件下，教师在当时的教学中对教材例习题的拓展延伸程度相对低，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的。•所以我设计本节课的思路是想通过对此类题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，利用例题、习题的所潜在的价值，改变学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。希望能通过此了复习达到预想的目标。•在具体复习过程中，将此类问题归类建模，我们知道，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法，因此在教学中，要洗染引导学生通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学模型。