第一轮复习自己整理绝对经典2016向量--第一轮

-1-平面向量题型总结(2015版)题型一:定义判断1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。-2-例1.平面向量ba,共线的充要条件是（）A.ba,方向相同B.ba,两向量中至少有一个为零向量C.存在,RabD存在不全为零的实数0,,2121ba例2.下列命题正确的是（）A、若a∥b，且b∥c，则a∥c。B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。C、向量AB的长度与向量BA的长度相等。D、若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线。例3.给出下面四个命题：①对于任意向量a、b，都有|a·b|≥a·b成立；②对于任意向量a、b，若a2=b2，则a=b或a=-b；③对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·c)·a成立；④对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·a)·c成立.其中错误的命题共有.例4.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知A),,(11yxB),(22yx,则);2,2(212121yyxxAB③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|④已知0,021,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;其中正确命题的序号是.例5．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe1＋μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ,μ有无数多对；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)；④若实数λ,μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.A.①②B．②③C．③④D．仅②真题：（2014北京东城区统一检测）若a，b是两个非零向量，则|a+b|＝|a-b|是ba的条件-3-（2013年高考广东卷（文））设a是已知的平面向量且0a,关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使abc;②给定向量b和c,总存在实数和,使abc;③给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc;④给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使abc;上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4（15北京文科）设a，b是非零向量，“abab”是“//ab”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（15年安徽文科）ABC是边长为2的等边三角形，已知向量ba、满足aAB2，baAC2，则下列结论中正确的是。（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b为单位向量；③ba；④BCb//；⑤BCba)4(（15年陕西理科）对任意向量,ab，下列关系式中不恒成立的是（）A．||||||ababB．||||||||ababC．22()||ababD．22()()ababab题型二：平面向量基本定理及基底的相关应用平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）||||||||||||ababab，特别地，当ab、同向或有0||||||abab||||||||abab；当ab、反向或有0||||||abab||||||||abab；当ab、不共线||||||||||||ababab(这些和实数比较类似).-4-（3）向量PAPBPC、、中三终点ABC、、共线存在实数、使得PAPBPC且1例6.如图,ABCD是一个梯形,CDABCDAB2,//,M、N分别是ABDC,的中点,已知ABa,ADb,试用a、b表示,DCBC和.MN例7.在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.DC与OA交于E，设OA→＝a，OB→＝b，用a，b表示向量OC→，DC→.例8.已知在△ABC中，,2DABD点E为AC的中点，CD与BE交于点F，试用AB与AC表示AF.例9.在平行四边形ABCD中，M,N分别为DC，BC的中点，已知,AMaANb，试用,ab表示,ABAD。例10.在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB,aCB，bCA,2,1ba,则CD()A.,3231baB.,3132baC.,5453baD.,5354baABNMDC-5-三点共线定理的应用：例11.在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设,aAB,bBC则AHA.,5452baB.,5452baC.,5452baD.,5452ba例12.在△ABC中，nmACnABmAPPRCPRBAR则若,,2,2A．32B.97C．98D．1例13.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2OA→＋xOB→＋BC→＝0，实数x为()A．－1B．0C.－1＋52D.1＋52例14.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b例15.在ABC中，N是AC边上的一点，且NCAN21,P是BN上的一点，若ACABmAP92,则实数m的值为.例16.已知O是ABC的外心，02,1,120ABACBAC，若12AOABAC，则12的值为（）A．2B．136C．73D．52例17.若向量)4,7(),1,2(),2,3(cba,现用a、b表示c,则c=.真题：（湖南六校联考2014）设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA→＝－2i＋j，OB→＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．（2015洛阳市统考）已知直角坐标系内的两个向量)32,(),3,1(mmba使平面内的任意一个c都可以唯一的表示成bac，则m的取值范围是.-6-题型三：向量的几何运算及三角形的四心①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABaBCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,ABaACbabABACCA那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。在ABC中：①若112233,,,,,AxyBxyCxy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG②1()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；④向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；⑤||||||0ABPCBCPACAPBPABC的内心；例18.若正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc，则||abc＝_________________例19.若O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC的形状为__________内心例20.O是ABC所在平面内一定点，动点P满足），【0),(ACACABABOAOP，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心例21.已知非零向量AB与AC满足0)(BCACACABAB，且21ACACABAB，则ABC为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形重心例22.O是ABC内一点，0OBOAOC，则为ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心-7-垂心例23.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足,),(RCOSCACACCOSBABABOAOP则点P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心外心例24.已知点O，N，P在ABC所在平面内，且,OCOBOANCNBNA0，PAPCPCPBPBPA，则O，N，P依次是ABC的（）A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心题型四：平面向量坐标运算及共线问题设1122(,),(,)axybxy，则：①向量的加减法运算：12(abxx，12)yy。②实数与向量的积：1111,,axyxy。③若1122(,),(,)AxyBxy，则2121,ABxxyy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。④平面向量数量积：1212abxxyy。如：⑤向量的模：222222||,||axyaaxy。如⑥两点间的距离：若1122,,,AxyBxy，则222121||ABxxyy向量的运算律：1．交换律：abba，aa，abba；2．结合律：,abcabcabcabc，ababab；3．分配律：,aaaabab，abcacbc。例25.设(2,3),(1,5)AB，且13ACAB，3ADAB，则C、D的坐标分别是__________例26.与向量a→=(12,5)平行的单位向量为-8-例27.已知(0,2)A，(2,2)B，(3,4)C，求证：,,ABC三点共线。例28.设2(5),28,3()2ABabBCabCDab，求证：ABD、、三点共线真题：（2013年高考辽宁卷（文））已知点1,3,4,1,ABAB则与向量同方向的单位向量为（2014滁州市统考）已知向量a＝