等差数列求和公式及性质教案习题

南博教育备课本让三亿中国孩子学会学习，让千百万家长走向成功！学生姓名刘琼年级高二教学时间2013/8/23教学科目数学教学内容等差数列求和及公式任课教师葛老师1、等差数列{an}前n项和公式：nS=nan2a1=dnnna2)1(1=dnnnan2)1(。等差数列的前n项之和公式可变形为ndandSn)2(212，若令A＝2d，B＝a1－2d，则nS＝An2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。2、等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为n2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=nd,性质3:(2)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=an,1-nns偶奇s性质4:数列{nns}为等差数列性质5:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则1212nnnnbaTS典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{na}中，已知81248,168SS，求1,a和d已知6510,5aS，求8a和8S训练：1、在等差数列{}na中，已知102030,50aa.（1）求通项公式{}na；（2）若242nS，求n.2.在等差数列na中,nS为数列na的前n项和，已知7157,75SS，nT为数列{nSn}的前n项和，求nT3、已知等差数列na的前n项之和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于。4.已知na是等差数列，且满足)(,nmmananm，则nma等于________。在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．5、已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．南博教育备课本让三亿中国孩子学会学习，让千百万家长走向成功！热点考向2：求等差数列前n项和最值例2、1已知：等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．2、在等差数列{}na的前n项和为nS.（1）若120a，并且1015SS，求当n取何值时，nS最大，并求出最大值；（2）若10a，912SS，则该数列前多少项的和最小？训练：1、已知：nna12lg1024（3010.02lg）Nn（1）问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？2.设等差数列}{na的前n项和为nS，已知.0,0,1213123SSa（I）求公差d的取值范围；（II）指出12321,,,,SSSS中哪一个最大，并说明理由。3、在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．热点考向3：求等差数列各项的绝对值之和.例3、已知一个等差数列na的通项公式an=25－5n，求数列||na的前n项和；训练：1、已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．2.已知数列na的前n项和nS212nn，求数列{na}的前n项和nT。热点考向4：.等差数列{an}前n项和的性质的应用例4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.271.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.902.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且372nnTSnn，则1010bannba为整数的n值有个训练：1、已知等差数列an}的前10项之和为140，其中奇数项之和为125，则a6=。2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。3、已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77，偶数项之和为66，则中间项=总项数为。4.等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.热点考向5：知识的融合与等差数列的综合应用例4.已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点列(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tnm20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.2、项数是n2的等差数列，中间两项为1nnaa和是方程02qpxx的两根，求证此数列的和nS2是方程0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx的根。（02nS）南博教育备课本让三亿中国孩子学会学习，让千百万家长走向成功！训练：1、设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，已知3122aaa，数列nS是公差为d的等差数列。2、求数列na的通项公式（用dn,表示）；（2）设c为实数，对满足nmknm且3的任意正整数knm,,，不等式knmcSSS都成立。求证：c的最大值为29。6：练习部分1．等差数列}a{n前n项的和为nS，且3S3，7S6，则9S的值是（）A．12B．15C．11D．82、等差数列na、nb的前n项和为Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn77ba=；3．在等差数列}a{n中，若450aaaaa76543，则82aa=(A．45B．75C．180D．3204．在等差数列}a{n中，（1）若20a11，则21S=________；（2）若20aaaa131074，则16S________。5．在等差数列}a{n中，前n项和为nS，若1S3，5aaa987，则99S=________。6．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()(A)14(B)21(C)28(D)357．在等差数列}a{n中，0a1，nS为前n项和，且163SS，则nS取得最小值时n的值为（）。A．9B．10C．9或10D．10或118．在等差数列}a{n中，)(nmSSnm，则nm1aa等于（）A．mnB．)(nmC．0D．)1(nm9.数列na满足112nnaa（*2,nnN）,21a,nS是na的前n项和，则21S=.10.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于（）A．1B53C.2D311.设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于（）A．13B．35C．49D．6312.等差数列{na}的前n项和记为nS，若2610aaa为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A.6SB.11SC.12SD.13S13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，其偶数项之和为30，则其公差为（）A5B4C3D214.在等差数列{an}中，2(a1＋a4＋a7)＋3(a9＋a11)＝24，则此数列的前13项之和等于()(A)13(B)26(C)52(D)15615.已知数列an＝n－1(n为奇数)n(n为偶数)，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝()(A)4800(B)4900(C)5000(D)510016.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0；Sn是数列{an}的前n项和，则(A)S5S6(B)S5S6(C)S6＝0(D)S5＝S6南博教育备课本让三亿中国孩子学会学习，让千百万家长走向成功！17.在递减等差数列{an}中，若a1＋a100＝0，则其前n项和Sn取最大值时的n值为()(A)49(B)51(C)48(D)501.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS.2.等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4a3.已知na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是.设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=。4、若{na}，{nb}是等差数列，且满足123123723nnaaaanbbbbn，则55ab=5．设等差数列共有10项，其中奇数项之和为12.5，偶数项之和为15，则其首项1a=_______，公差d=________；在项数为)Nn(1n2的等差数列中，它的奇数项之和与偶数项之和的比=_______。6．已知等差数列1，4，7，10，…，试求x的值，使x分别满足1）1+4+7+…+x=477，x=_________；（2）(x+1)+(x+4)+(x+7)+…+(x+298)=15950，x=_________；（3）x·4x·7x·10x·13x=105x，x=______。7已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4S8＝13，则S8S16＝.8.各项均不为零的等差数列{an}中，若an2－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则S2012等于.1．已知等差数列}a{n的前n项和为nS，若1Sm，4Sm3，试求m6S的值。2．等差数列}a{n的公差为1，102aaaa99321，试求9963aaa的值。3.设两个数列{an},{bn}满足bn=nnaaaan32132321，若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列.4.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列nSn的前n项和,求Tn.5.等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,该数列前多少项的和最小？6.已知数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.7．若等差数列}a{n的前m项、前n项的和分别为mS和nS，且mS：nS=2m：2n（nm），求证na：)1n2(am：)1m2(。8．在等差数列}a{n中，公差为d，84a4，前n项和为nS，且0S10，0S11。（1）求d的取值范围；（2）求使得0an的最小自然数的值；（3）设在集合{1S，2S，3S，…，nS}中，元素的最大值为M，试求M的取值范围。南博教育备课本让三亿中国孩子学会学习，让千百万家长走向成功！函数sin()yAxk的图象与函数sinyx的图象变换方法如下：先平移后伸缩sinyx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度得sin()yx的图象()横坐标伸长(01)或缩短(1)1到原来的纵坐标不变得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的倍横坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．先伸缩后平移sinyx的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()y