高一数学下期末试卷(含答案)

1/7高一数学下学期期末考试第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：三角函数积化和差公式三角函数和差化积公式sinαcosρ=21[sin(α+ρ)+sin(α﹣ρ)]sinα+sinρ=2sin2+ραcos2ραcosαsinρ=21[sin(α+ρ)﹣sin(α﹣ρ)]sinα﹣sinρ=2cos2+ραsin2ραcosαcosρ=21[cos(α+ρ)+cos(α﹣ρ)]cosα﹣cosρ=2cos2+ραcos2ραsinαsinρ=－21[cos(α+ρ)－sin(α﹣ρ)]cosα﹣cosρ=--2sin2+ραsin2ραy=Asinωx+Bcosωx=22+BAsin(ωx+θ)，其中cosθ=22+BAA，sinθ=22+BABθ∈[)π2,0一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．用sin34，cos65，tan4，cot43，2sin3·cos3作为集合A中的元素，则集合A中元素的个数为A、2个B、3个C、4个D、5个2．已知点（3，4）在角α的终边上，则sinα+cosα+tanα的值为A、37B、73C、2043D、15413．已知|a|=8,|b|=6,向量a、b所夹角为120°,则|a﹣b|为A、237B、37C、213D、134．已知集合M={a|a=2kπk∈z}P={a|a=(2k+1)πk∈z)}Q={a|a=(4k+1)πk∈z}a∈M,b∈P则a+b∈（）A、MB、PC、QD、不确定5．若非零向量a、b，a不平行b,且|a|=|b|，那么向量a+b与a﹣b的关系是A、相等B、相交且不垂直C、垂直D、不确定6．下列命题中正确的是①|a·b|=|a||b|②(ab)2=a2·b2③a⊥(b－c)则ab－ac=0④a·b=0,则|a+b|=|a－b|A、①②B、③④C、①③D、②④7．在△ABC中，∠B为一内角，sinB－cosB0,cotBcosB,则△ABC为A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等边三角形2/78．下列不等式正确的是A、sin21cos31B、sin21≤cos31C、sin21cos31D、sin21≥cos319．如图扇形ABB1A1的中心角APB=θ，θ∈（0，2π），设PA1=x,AA1=L,给出下列四个结论①θ=xLABxBA11②ABAB③θ=LBAAB11④S扇环ABB1A1=2(L2+2Lx)其中正确的个数A、1个B、2个C、3个D、4个10．有向线段AB上有异于A、B的100个等分点P1P2……P100，则Pi(i=1、2、3…100)分有向线段AB的比λ的最大值与最小值分别为A、101，1021B、101，1011C、100，1001D、99，99111．若函数y=cos(2x－3)+1的图像按a=(h·k),(h0,且h为最小角)平移后得到的图形是函数y=cos2x的图像，那么a=（）A、a=（6π，1）B、a=（6，1）C、a=（6π，-1）D、a=（65，-1）12．已知cosα=23cos2α+cos2β，则sin2α+sin2β的范围为A、[23，+∞）B、[2，27]C、[23、27]D、[914，2]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）13．若sin2β=169，β为第二象限角，则tan2β=_________。14．若OA=（1，0），OB=（1+3，1），OC=（1，2），则△ABC的形状为______。15．已知函数f(x)=x2，那么21[f(a)+f(b)]与f(2+ba)的大小关系为_______________，化简后为_____________。16．如图（一）边长为3的正方形中，有16个交点，从中任取2个组成向量，则与AC平行且长度为22的向量个数f(3)=8.︵︵︵︵︵3/7如图（二）边长为4的正方形中，有25个交点，从中任取2个组成的向量与向量AC平行且长度为32的向量个数f(4)=____________。三、解答题（本大题共6小题，17题至21题每题12分，22题14分，共74分）注意事项：要求写出必要的推理、证明、演算的过程。17．（本题12分）已知在△ABC中，tanA=-41（1）求∠A（可用反三角表示）；（2）求AAA2coscossin21的值。18．（本题12分）如图：在直角坐标系中OA=a,OB=b，M为平面内的一点，M关于A的对称点S，S关于B的对称点为N。（1）试用a,b表示向量MN；（2）若A、B是动点，且OA=(cosα,sinα)，OB=(2cosβ,2sinβ)，求|MN|的取值范围。19．（本题12分）若a、b、c∈R，且a=x2－2y+2,b=y2+3,c=z2－2x+6,求证：a、b、c中至少有一个大于零。4/720．（本题12分）已知|OA|=|OB|=1，OA，OB的夹角为120°。（1）若四边形OACB为平行四边表，试用OA、OB表示OC，并求|OC|；（2）若|OC|=5，OC与OA的夹角为30°，试用OA，OB表示OC。21．（本题12分）已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx,(A,B,ω∈R且ω0)，若f(x)的最小正周期为1，且当x=121时f(x)取得最大值2。（1）求f(x)的解析式；（2）在[0，1）内求f(x)的单调区间，并说明单调性；（3）在区间[613，3]上是否存在对称轴，若存在请求出对称轴方程，若不存在，请说明理由。22．（本题满分14分）如图：扇形的半径为1，中心角为3，请设计一种方案，使得扇形内接矩形的面积最大，求最大值，并说明理由。（内接矩形是指矩形的四个顶点都在扇形的弧上和半径上）5/7高一数学下学期期末考试8答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1、C2、D3、A4、B5、C6、B7、C8、A9、D10、C11、D12、D二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）13、3714、等边三角形（正三角形）15、21[f(a)+f(b)]≥f(2+ba)a2+b2≥2ab当且仅当a=b时取等号16、f(4)=8三、解答题（本大题共6小题，17至21题每题12分，22题14分，共74分）17、解：（1）∵tanA=-41∴∠A为钝角………………………………2分即A=π－arctan41……………………………………5分(2)2417=2111+161=1tan21+tan=coscossin2cos+sin=coscossin2122222AAAAAAAAAA…12分18、解：（1）（法一）连接AB，得向量AB=b－a由三解形的中位线及平行向量得MN=2(b－a)（法二，可用坐标法）……3分（2）（法一）|MN|=2|b－a|,||a|－|b||≤|b－a|≤|a|+|b|即|MN|∈[2，6]（法二）|MN|=2)cos(45=)sin2(sin+)cos2(cos22βαβαβα∵|cos(α－β)|≤1∴2≤|MN|≤619、证明：设a≤0,b≤0,c≤0………………3分则有a+b+c≤0而a+b+c=(x2－2y+2)+(y2－2z+3)+(z2－2x+6)=(x－1)2+(y－1)2+(z－1)2+(π－3)……………………8分∵(x－1)2≥0(y－1)2≥0(z－1)2≥0π－30……………………10分∴a+b+c0与a+b+c≤0矛盾∴原命题正确……………………12分20、解：（1）如图∵AC=OB，由向量的加法法则得OA+AC=OC……………………3分6/7∴OC=OA+OB，|OC|=°60cos|||2)(+)(22OBOAOBOA=1…………5分（2）如图，设OC=mOA+nOB，(m,n∈R)∴OA≠0,OB≠0………………7分∴OC·OA=mOA·OA+nOB·OB即5×1×23=m－21n5×1×0=2m+n⇒m=3310n=335∴OC=3310OA+335OB…………………12分21、解：（1）f(x)=22+BASin(ωx+θ)Cosθ=22+BAASinθ=22+BAB[θ∈[0,)则ω=2π，22+BA=2，Sin（122+θ）=1，θ=3………………4分∴f(x)=2Sin(2πx+3)（2）当2kπ－2≤2πx+3≤2π+2，即k－125≤x≤k+121k∈z时增…………5分当2kπ+2≤2πx+3≤2π+23π，即k+121≤x≤k+127k∈z时减…………6分∵x∈[0,1)∴在[0，121]上增，[121，127]上减，[127，1）上增…………8分（3）令2πx+=kπ+2,x=2k+121………………9分即1226≤121+6k≤1236k=5………………11分存在对称轴x=1231………………12分22、解：如图（一）取AB上一点P，连OP，作矩形PQRS设∠POA=θ(0θ6)………………1分在△POS中，∠OSP=65PS=2Sinθ…………………2分︵7/7OS=2Sin(6－θ)在△OSR中RS=OS………………3分S1=PS·RS=4Sinθ·Sin(6－θ)………………4分=2[Cos(2θ－6)－Cos6]≤2－3当θ=12时取等号………………6分（合计6分）如图（二）取AB上一点P，作矩形PQRS设∠POA=θ，（0θ3）……………………1分在△PSO中，PS=Sinθ在△PQO中，∠POQ=3－θ∠PQO=32PQ=332=32)3(πSinθπSinSin(3－θ)S2=PQ·PS=332Sinθ·Sin(3－θ)=33[(Cos(2θ－3)－Cos3]≤33(1－21)=63当θ=6时取等号…………………………6分（合计6分）S1－S2=6147144=637120即S1S2∴如图二的矩形面积最大为63…………………………14分︵