2010年高考题：-第6章-数列-第一节-等差数列、等比数列的概念及求和

第六章数列第一节等差数列、等比数列的概念及求和一、选择题1.（2010浙江理）（3）设nS为等比数列na的前n项和，2580aa，则52SS（A）11（B）5（C）8（D）11解析：通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2.（2010全国卷2理）（4）.如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa3.（2010辽宁文）（3）设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B解析：选B.两式相减得，3433aaa，44334,4aaaqa.4.（2010辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，nS为其前n项和。已知a2a4=1,37S,则5S（A）152(B)314(C)334(D)172【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得2411aq，因此121aq，又因为231(1)7Saqq，联力两式有11(3)(2)0qq，所以q=12,所以5514(1)3121412S，故选B。5.（2010全国卷2文）(6)如果等差数列na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+•••…+7a=（A）14(B)21(C)28(D)35【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。∵34512aaa，∴44a12717417()7282aaaaaa6.（2010安徽文）(5)设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（A）15(B)16(C)49（D）64【答案】A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根据1(2)nnnaSSn即可得出结论.7.（2010浙江文）(5)设ns为等比数列{}na的前n项和，2580aa则52SS(A)-11(B)-8(C)5(D)11解析：通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式8.（2010重庆理）（1）在等比数列na中，201020078aa，则公比q的值为A.2B.3C.4D.8【答案】A解析：8320072010qaa2q9.（2010广东理）4.已知{}na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，则5S=A．35B.33C.31D.29【答案】C解析：设{na}的公比为q，则由等比数列的性质知，231412aaaaa，即42a。由4a与27a的等差中项为54知，475224aa，即7415151(2)(22)24244aa．∴37418aqa，即12q．3411128aaqa，即116a．10.（2010广东文）11.（2010山东理）12.（2010重庆文）（2）在等差数列na中，1910aa，则5a的值为（A）5（B）6（C）8（D）10【答案】A解析：由角标性质得1952aaa，所以5a=5二、填空题1.（2010辽宁文）（14）设nS为等差数列{}na的前n项和，若36324SS，，则9a。解析：填15.316132332656242SadSad,解得112ad，91815.aad2.（2010福建理）11．在等比数列na中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式na．【答案】n-14【解析】由题意知11141621aaa，解得11a，所以通项nan-14。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。3.（2010江苏卷）8、函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________解析：考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y时，解得2kax，所以1135,1641212kkaaaaa。三、解答题1.（2010上海文）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN(1)证明：1na是等比数列；(2)求数列nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n.解析：(1)当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa，又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；(2)由(1)知：151156nna，得151156nna，从而1575906nnSn(nN*)；由Sn1Sn，得15265n，562log114.925n，最小正整数n15．2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d＝1812dd，解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma=2n，由等比数列前n项和公式得[高考学习网]Sm=2+22+23+…+2n=2(12)12n=2n+1-2.3.（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知{}na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设21()nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT。【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于1a与d的方程求得1a与d，可求得数列的通项公式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。4.（2010江西理）22.（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整a,都存在整数b,c(bc)，使得222abc，，成等差数列。（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长nnnabc，，为正整数且222nnnabc，，成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证2222acb，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值2221,5,7满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当222nnnabc，，成等差数列，则2222nnnnbacb，分解得：()()()()nnnnnnnnbabacbcb选取关于n的一个多项式，24(1)nn做两种途径的分解2224(1)(22)(22)(22)(22)nnnnnnnn24(1)nn对比目标式，构造222211(4)21nnnannbnncnn，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例2222222112121121mmmmmnnnnn，由比例的性质得：1111mmmnnn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。5.（2010安徽文）（21）（本小题满分13分)设12,,,,nCCC是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线33yx相切，对每一个正整数n,圆nC都与圆1nC相互外切，以nr表示nC的半径，已知{}nr为递增数列.(Ⅰ)证明：{}nr为等比数列；（Ⅱ）设11r，求数列{}nnr的前n项和.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设nC的圆心为(,0)n，得2nnr，同理得112nnr，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}nr中1nr与nr的关系，证明{}nr为等比数列；（2）利用（1）的结论求{}nr的通项公式，代入数列nnr，然后用错位相减法求和.nnnnnnn+1n+1n+1nnn+1n+1nnn+1nnn11nnnnn12331,sin,332r12r22rrr2r2rr3rrq3nr1q3r3n*3r12.....rrxC解：（1）将直线y=的倾斜角记为,则有tan=设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。（）由于，，故，从而，记S121n121n121n11,r12*33*3......*31*32*3......(1)*3*33133...3*331333*3()*3,22239139(23)*3()*34224nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSn则有SS①②,得2S【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项na与1na之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和nS乘以公比，然后错位相减解决.6.（2010重庆文）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）已知na是首项为19，公差为-2的等差数列，nS为na的前n项和.（Ⅰ）求通项na及nS；（Ⅱ）设nnba是首项为1，公比为3的等比数列，求数列nb的通项公式及其前n项和nT.7.（2010浙江文）（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足56SS+15=0。（Ⅰ）若5S=5，求6S及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。8.（2010北京文）（16）（本小题共13分）已知||na为等差数列，且36a，60a。（Ⅰ）求||na的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||nb满足18b，2123baaa，求||nb的前n项和公式解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差d。因为366,0aa所以112650adad解得110,2ad所以10(1)2212nann（Ⅱ）设等比数列{}nb的公比为q因为212324,8baaab所以824q即q=3所以{}nb的前n项和公式为1(1)4(13)1nnnbqSq9.（2010四川理）（21）（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2