《压轴题1》专题：数列的综合性质2(适合上海考生)

第1页/共11页专题：数列综合问题一、知识梳理【学生填写】第2页/共11页二、考点梳理+例题精讲【师生互动】【例1】已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合1,2,1,0qM，集合niMxqxqxxxxAinn,,2,1,,|121（1）当3,2nq时，用列举法表示集合A；（2）设Ats,，121nnqaqaas，121nnqbqbbt，其中niMbaii,3,2,1,,，证明：若nnba，则ts第3页/共11页【例2】【青浦区】已知曲线，012:1xxxyC及曲线031:2xxyC，1C上的点P的横坐标为21011aa，从1C上的点*NnPn作直线平行于x轴，交曲线2C于*NnQn点，再从2C上的*NnQn作直线平行于y轴，交曲线1C于1nP点，点*NnPn的横坐标构成数列na；（1）求曲线1C和曲线2C的交点坐标；（2）试求1na与na之间的关系；（3）证明：2-1212nnaa第4页/共11页【例3】【奉贤区】已知数列na的前n项和为nS，若*1221Nnaann，则称na是“紧密数列”（1）若na是“紧密数列”，且4,,23,14321axaaa，求x的取值范围；（2）若na是等差数列，首项1a，公差为d，10ad，判断na是否为“紧密数列”；（3）设na是公比为q的等比数列，若数列na与nS都是“紧密数列”，求q的取值范围？第5页/共11页【例4】【2016年上海普陀区】已知*Nn，数列na的前n项和为nS，且2-1nnaS（1）求证：数列na是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意的njiaaaaa,,,,21，（其中1,1,,injnij均为正整数），若jiaa,所有乘积jiaa的和记为nT，求nnnT4lim的值；（3）设1121,log31nnnnnnbbcab，若数列nc的前n项和为nC，是否存在实数t，使得对于所有的n都有2tnCn成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由。第6页/共11页【例5】【2015年上海奉贤区】对于正项数列na，若qaann1对一切*Nn恒成立，则11nnqaa对*Nn也恒成立是真命题（1）若0,11naa且1,313,01cccaaannn，求证：数列na的前n项和ccSnn3131（2）若*11,232,4Nnnxxxnn，求证：11323323nnnx第7页/共11页三、拓展训练【学生填写、教师批改、家长督促】1.已知数列na满足,3,2,1,2sin2cos1,2,122221nnanaaann（1）设43,aa，并求数列na的通项公式；（2）设nnnnnbbbSaab21212,，证明：当6n时，nSn12第8页/共11页2.在2mm个不同数的排列nPPP,,21中，若mji1时，jiPP（即前面某数大于后面某数），则称jiPP,构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数。记排列32111nnn的逆序数为na，如排列21的逆序数11a，排列321的逆序数63a.（1）求54,aa，并写出na的表达式；（2）令nnnnnaaaab11，证明：*21,322Nnnbbbnn第9页/共11页3.【2017年嘉定区】已知数列na，若满足1,01aaaa，对于任意的*,Nmn，都有mnmnaaa，则称na为指数数列（1）已知数列na，nb的通项公式分别为132,3nnnnab，试判断与证明na，nb是不是指数数列；（2）若数列na满足nnnaaaaa23,4,21221，证明：na是指数数列；（3）若数列na是指数数列，*143Nttta，证明：数列na中任意三项都不能构成等差数列。第10页/共11页4.已知数列na的前n项积nT满足条件：①nT1是首项为2的等差数列；②6152TT（1）求数列na的通项公式na；（2）设数列nb满足nnannb2，其前n项和为nS，求证：对任意正整数n，都有410nS第11页/共11页5.【松江区】如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数为“H型数列”（1）若数列na为“H型数列”，且4,1,31321amama，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列na为“H型数列”，且其前n项和nS满足*2NnnnSn？若存在，请求出na的通项公式；若不存在，请说明理由（3）已知等比数列na的每一项均为正整数，且na为“H型数列”，521,32nnnnnnacab，当数列nb不是“H型数列”时，试判断数列nc是否为“H型数列”，并说明理由.