【高考数学大题精做】专题06-三角形中的最值问题(第一篇)(解析版)

1/18第一篇三角函数与解三角形专题06三角形中的最值问题类型对应典例求三角形中角相关的最值问题典例1求三角形中边相关的最值问题典例2求三角形中面积相关的最值问题典例3求三角形中周长相关的最值问题典例4平面图形中三角形面积的最值问题典例5求三角形中相关的混合型的最值问题典例6求三角形中线段的最值问题典例7【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2coscosabBcC（1）求角C的大小．（2）求函数sinsinyAB的值域．【思路引导】（1）由2coscosabBcC利用正弦定理得2sincossincossincosACBCCB，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos2C，可求出C的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.解：（1）由2coscosabBcC，利用正弦定理可得2sincossincossincosACBCCB，可化为2sincossinACsinCBA，1sin0,cos2AC0,,23CC.（2）sinsin3yAsinBAsinA2/1831sincossin3226AAAsinA，2,032ABA，62A，23,,136362AsinA，3,32y.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且22cosacbC.(1)求sin2ACB的值；(2)若3b，求ca的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cosB，进而求得B和AC，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将ca表示为2sin2sinCA，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin3C，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C的范围可求得结果.解：（1）由正弦定理可得：2sinsin2sincosACBCABCsinsinABC2sinsin2sincos2cossinsin2sincosBCCBCBCCBC即2cossinsinBCC0,Csin0C1cos2B0,B3B23AC23sinsin232ACB（2）由（1）知：3sinsin32B32sinsinsin32acbACB3/182sincC，2sinaA2sin2sin2sin2sin2sin2sincos2cossincaCACBCCBCBC2sin3cossinsin3cos2sin3CCCCCC23ACQ203C,333C2sin3,33C，即ca的取值范围为3,3【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】已知△ABC的内角A，B，C满足sinsinsinsinsinsinsinsinABCBCABC．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222abcbc，再由余弦定理即可得A；（2）由正弦定理2aRsinA，可得a，由基本不等式利用余弦定理可得222bcbcbcbcbc，从而由12SbscinA可得解.解：（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．根据sinsinsinsinsinsinsinsinABCBCABC，可得222abcbabcbccabc，所以2221cos222bcabcAbcbc，又因为0A，所以3A．（2）22sin2sin3sin3aRaRAA，所以2232bcbcbcbcbc，所以11333sin32224SbcA（bc时取等号）．4/18【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为,,abc，设(sin,1cos)mBB，(2,0)n.（1）若23B，求m与n的夹角；（2）若||1,3mb，求ABC周长的最大值.【思路引导】（1）将23B代入可求得m.根据平面向量数量积的坐标运算求得mn,由数量积的定义即可求得cos,进而得夹角.（2）根据||1m及向量模的坐标表示,可求得B.再由余弦定理可得22()4acb.结合基本不等式即可求得ac的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出ac,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得ac的取值范围,进而求得周长的最大值.解：（1）23B,所以33,22m,因为(2,0)n,32032mn∴,又2233||322m,||2n,31cos2||||23mnmn∴,3,（2）因为||1m,即22||sin(1cos)22cos1mBBB,所以3B,方法1.由余弦定理,得2222cosbacacB.2222()()3()324acacacacac,即2()34ac,即23ac≤,（当且仅当ac时取等号）所以ABC周长的最大值为33.5/18方法2.由正弦定理可知,2sinsinsinacbACB,2sin,2sinaAcC∴,23AC,所以22sin2sin3sin3cos23sin36acAAAAA,又203A,5666A,1sin,162A,(3,23]ac∴,所以当3A时,ac取最大值23.所以ABC周长的最大值为33.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形ABCD中，1AB，3BC，点E、F分别在边BC、CD上，3FAE，06EAB..（1）求AE，AF（用表示）；（2）求EAF的面积S的最小值.【思路引导】（1）根据1AB，3BC，分别在RtABE和RtADF中，利用锐角三角函数的定义求出AE和AF即可；（2）由条件知13sin2332sin23SAEAF，然后根据的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S的最小值.解：（1）在RtABE中，1AB，所以1coscosABAEEAB，6/18在RtADF中，3AD，236DAFEAB，30cos6cos6ADAFDAF；（2）133sin23314coscos4coscossin622SAEAF23332sincos23cossin23cos232sin233，因为06，所以22333，即32sin223，当232时，即当12时，S取最小值323.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()sin()(sinsin)acCabAB.（1）求B；（2）设3b，ABC的面积为S，求2sin2SC的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sinaA，2sincC，这样2sin2sinsin2SCacBC32sin2sinsin22ACC，又sinsin()sin()3ABCC，2sin2SC就表示为C的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．解：（1）由正弦定理()()()accabab，222acbac，由余弦定理2221cos22acbBac，3B；7/18（2）由正弦定理32sinsinsin32acbACB，2sinaA，2sincC，2sin2sinsin2SCacBC32sin2sinsin223sinsinsin22ACCACC223sin()sinsin23sin3sincossin2CBCCCCCC333331cos2sin2sin2cos2sin2222222CCCCC33sin21232C.当且仅当512C时等号成立，故最大值为312.【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosbcaC，22c．（1）求A；（2）若ABC为锐角三角形，D为BC中点，求AD的取值范围．【思路引导】（1）由正弦定理，将式子22cosbcaC中的边化成角得到2cos2A，从而求得A的值；（2）由（1）知4A，可得C的范围，再将b表示成关于tanC的函数，从而求得b的取值范围.解：（1）因为22cosbcaC，由正弦定理，得2sinsin2sincosBCAC，又sinsin[()]sin()BACAC，所以2(sincoscossin)sin2sincosACACCAC，所以2cossinsin0ACC，因为0C，所以sin0C，所以2cos2A，又0A，所以4A.（2）由（1）知4A，根据题意得0242CC，，解得42C.8/18在ABC中，由正弦定理得sinsincbCB，所以22sin()2sin2cos242sinsintanCCCbCCC，因为()42C，，所以tan(1,)C，所以(24)b，.因为D为BC中点，所以1()2ADACAB，所以221()4ADACAB21(48)4bb21(2)14b，因为(24)b，，所以AD的取值范围为(5,10).【针对训练】1.【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且()()3abcabcab.（1）求角C的值；（2）若2c，且ABC为锐角三角形，求ab的取值范围.【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos2C，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin6abA，再根据ABC为锐角三角形，求得62A，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知()()3abcabcab，∴222abcab，由余弦定理可知，222cos122abcCab，又∵(0,)C，∴3C.（2）由正弦定理可知，243sinsin3sin3abAB，即443sin,3sin33aAbB9/18∴43(sinsin)3abAB423sinsin33AA23sin2cosAA4sin6A，又∵ABC为锐角三角形，∴022032ABA，即，