例析平面直角坐标系中三角形面积的求法

例析平面直角坐标系中三角形面积的求法湖北省黄石市下陆中学陈勇我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4.作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.