原创论文《各种不等式的解法探究》

1各各种种不不等等式式的的解解法法探探究究涂涂评评摘要：不等式在高中数学中不是孤立存在的，在函数、数列、解析几何、平面向量、……，几乎所有的章节都有不等式的知识，可以说不等式贯穿了整个高中数学，由此可见不等式的重要性。高考发展到今天，日益重视学生的逻辑创新思维的训练，而不等式作为对学生综合能力的考查的重要工具也越来越受到高考出题者的亲睐。不等式在历届高考中均占到30分左右，题目呈现不同形式，包括函数定义域、解不等式、与简易逻辑相结合、与圆锥曲线相结合、与数列相结合、求取值范围、均值不等式、……。更多题目虽然没有直接考查不等式，但是却在暗中考查学生的不等式思维，所以说不等式的题目非常考验学生的综合能力。下面，针对各种不等式，我给出一些解法供大家学习参考。作者单位：博绘教育一对一辅导中心关键词：不等式的解法正文：第一大类：一元二次不等式的解法步骤：1、将二次项系数化为正数；2、判断相应的一元二次方程是否有实数根；3、根据根的情况写出相应的解集。详细过程见下表：一元二次不等式的解法(0)a注：表中24bac，1(0)2bxa，2(0)2bxa，02bxa.一些简单一元二次不等式的解集如下表：不等式解集21x11xx22x22xxx或223x2332xxx或20x20x0xx20x0xRx20xR21xR21x例1、解不等式：2620xx.第一步：不等式两边同乘以1得2620xx；第二步：解方程2620xx得112x，223x；20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc012xxxxx或12xxxxx或12xxxx12xxxx00xxRxx且R0xxx0RR2第三步：写出解集2132xxx或.例2、解不等式：2320xx.第一步：解方程2320xx得11x，22x；第二步：写出解集12xx.例3、解不等式：210xx.第一步：解方程210xx无实数解；第二步：写出解集R.例4、解不等式：24410xx.第一步：解方程24410xx得12x；第二步：写出解集12xx.【练习题】解下列不等式：第1组222260606060xxxxxxxx第2组22229610961096109610xxxxxxxx第3组2222350350350350xxxxxxxx第二大类：绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法如下表：()fxa()fxa()fxa()fxa0a()()fxafxa或()()fxafxa或()afxa()afxa0a()0fx()fxR()0fx0aRR关于绝对值不等式的三类同解变形：不等式()()fxgx()()fxgx()()fxgx同解变形()()()()fxgxfxgx或()()()gxfxgx22()()fxgx一些简单绝对值不等式的解集：不等式解集1x11xx1x11xx1x11xxx或1x11xxx或0x0xRx0xR0x30x0xx1x1xR例1、解不等式273x.解：原不等式转化为3273x，即4210x，得25x.所以原不等式的解集为25xx.例2、解不等式525x.解：原不等式转化为255x，则5255x，得05x.所以原不等式的解集为05xx.例3、解不等式1xx.（注：此题提供了另外一种解绝对值不等式的方法。）解：分0x、0x两种情况讨论。当0x时，绝对值直接去掉，在原不等式两边同乘以x得21x，解得01x.当0x时，原不等式转化为1xx，两边同乘以x得21x，即21x，解得.所以原不等式的解集为01xx.例4、不等式组03232xxxxx的解集是A.02xxB.502xxC.06xxD.03xx解：从各选项来看，只需解方程3232xxxx或3232xxxx.前者解得0x，后者解得6x.于是选C.（注：绝对值不等式的解集的端点值必为方程的解。）例5、解不等式4321xx.解（方法一）：原不等式等价于4304321xxx或430(43)21xxx.解之得342xx或3413xx，即2x或13x.所以原不等式的解集为123xxx或.解（方法二）：原不等式转化为4321xx或43(21)xx，解之得原不等式的解集为123xxx或.例6、解不等式113x.解：原不等式等价于1113xx，解之得0242xxx或，即4202xxx或.例7、解不等式2xx.4解：原不等式等价于22(2)xx，解之得1xx.【练习题】解下列不等式：第一组211121xx第二组210120xx第三组211211xxxx第四组1212xxxx第五组22xxxxxx第三大类：分式不等式的解法分式不等式的解法如下表：不等式()0()fxgx()0()fxgx()0()fxgx()0()fxgx等价转化()()0fxgx()()0fxgx()()0()0fxgxgx()()0()0fxgxgx例1、解不等式21xx.解（方法一）：分1x与1x两种情况讨论。当1x时，原不等式转化为2(1)xx，解之得2x，但前提是1x，所以此时不等式的解为12x；当1x时，原不等式转化为2(1)xx，解之得2x，但前提是1x，所以此时解为.综上所述，原不等式的解集为12xx.解（方法二）：把不等式右边的2移到左边并通分得201xx，再等价转化为(2)(1)0xx，解此一元二次不等式得到原不等式的解集为12xx.例2、解不等式102xx.解（方法一）：原不等式等价于1020xx或1020xx或1x.解之得12xx.解（方法二）：原不等式等价于(1)(2)02xxx，解之得12xx.【练习题】解下列不等式：第一组1111xx第二组1010xx第三组102102xxxx第四组102102xxxx第五组0101xxxx第六组110xxxx5第四大类：高次不等式的解法方法：穿针引线。口诀：从右到左、从上到下、奇穿偶回。步骤：1、解出方程的根并在数轴上按根的大小排序；2、穿针引线：从右到左、从上到下、奇穿偶回（具体含义在例题中讲解）；3、不等式大于零时取数轴上方部分，小于零则取下方部分。例1、解不等式(1)(2)(3)(4)(5)0xxxxx.解：解方程(1)(2)(3)(4)(5)0xxxxx得根分别为1,2,3,4,5，在数轴上标根如下：12354然后穿针引线，记住穿针口诀（从右到左、从上到下、奇穿偶回），如下：12354不等式大于零取数轴上方的部分，如下：12354于是原不等式的解集为12345xxxx或或.例2、解不等式253(1)(2)(3)(4)(5)0xxxxx.解：解方程253(1)(2)(3)(4)(5)0xxxxx得根分别为1,2,3,4,5，在数轴上标根如下：12354然后穿针引线，记住穿针口诀（从右到左、从上到下、奇穿偶回），注意到此题与上题的区别，根为2的那一项的指数为2，为偶数；根为3,4的那两项的指数均为奇数；其余根所在项的指数均为1，为奇数。于是此题穿针引线的方法与上题略有不同，指数为奇数的穿过数轴，指数为偶数的不能穿过数轴，应该迂回。此题只有2要迂回，具体过程如下：612354不等式大于零取数轴上方的部分，如下：12354于是原不等式的解集为1345xxxx或或.例3、解不等式2601xxx.解：根据分式不等式的解法，原不等式等价于2(6)(1)010xxxx，即(3)(2)(1)010xxxx，画数轴标根及穿针引线如下：1-23于是解得2131xxx或，所以原不等式的解集为213xxx或.例4、解不等式2(1)(1)0xxx.解（方法一）：因为2(1)0x，所以原不等式等价于(1)0xx，解得10xx.解（方法二）：直接用穿针引线法如下：70-11所以原不等式的解集为10xx.【练习题】解下列不等式：1、2104xx2、(1)(1)(2)(2)0xxxxx3、243(1)(1)(2)(2)0xxxxx4、(1+)032xxx5、222530253xxxx第五大类：指数不等式的解法指数不等式的解法如下表：()()fxgxaa()()fxgxaa()()fxgxaa()()fxgxaa01a()()fxgx()()fxgx()()fxgx()()fxgx1a()()fxgx()()fxgx()()fxgx()()fxgx一些简单指数不等式的解集：不等式21x112x28x182x20x20x1122x解集0x0x3x3xR10x例1、解不等式22112xx.解：原不等式转化为2201122xx，等价于220xx，解得02xx.例2、解不等式247230xx.解：注意到224xx，令2xt，则原不等式转化为22730tt，解此一元二次不等式得132tt或，即12322xx或，解得2log31xxx或.【练习题】解下列不等式：1、122x82、1139x3、2930xx4、32xx5、37373773xx6、222293xx第六大类：对数不等式的解法对数不等式的解法如下表：log()log()aafxgxlog()log()aafxgxlog()log()aafxgxlog()log()aafxgx01a0()()fxgx()()0fxgx0()()fxgx()()0fxgx1a()()0fxgx0()()fxgx()()0fxgx0()()fxgx一些简单对数不等式的解集不等式2log1x2log1x12log1x12log1x解集2x02x102x12x例1、解不等式12log(1)0x.解：原不等式即1122log(1)log1x，则有011x，解得12xx.例2、解不等式12log(1)1x.解：原不等式即11221log(1)log2x，则有1012x，解得312xx.例3、解不等式21log12x.解：原不等式即22log1log2x，则有12x，解得12