陈彬SARS传播及对经济影响的数学模型

SARS传播及对经济影响的数学模型摘要本文建立了SARS传播的离散数学模型，讨论了SARS对我国经济的影响并回答了题目提出的所有问题。首先，我们对题目所给出的模型从实用性和合理性方面作了分析，评价了该模型的优缺点。我们在对SARS传播的建模中将人群分为五类，在确定了他们之间的关系之后列出了一组差分方程，利用非典前期的数据确定了模型的参数，绘出了非典期间不同地区（主要是北京地区）相关指标（包括累计病例数，疑似病例数，日增病例数和死亡病例数）的预测曲线，并与实际曲形进行了比较，得到了比较满意的结果。接着分析了政府采取的措施对疫情发展的影响，并对何时采取措施以及采取何种措施进行了讨论。其次，在分析非典对经济的影响时着重讨论了受非典影响最大的旅游百货行业和医药行业的效益变化。考虑到股市作为国民经济的晴雨表，能很好的反映出各行各业经济效益的变化趋势，故我们在每个行业中各选取了三十家品级较高的上市公司，找出它们业绩的变化趋势，以此来反映整个行业的效益变化趋势。我们利用灰色预测模型对这两个行业的效益做出了预测，同时考虑到非典的影响，又对此模型进行了修正，加入了信心指数c(t)。利用修正后的模型，我们分别预测了2003年旅游百货行业和医药行业上半年业绩，与实际数据吻和较好。最后，我们利用此模型进一步分析得出，在十一长假期间，旅游百货行业会有强劲的反弹。SARS传播及对经济影响的数学模型一．问题重述SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。本题要求我们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二．模型的假设1．由于我们分析的是短时间内SARS的传播情况，所以不考虑人口的自然增长率；2．由于非典期间城市间的流动人口大幅度减少，所以我们不考虑地区之间的人员接触，即认为一个城市市一个封闭的系统；3．假设4月20号开始采取严格的隔离措施；4．不存在误诊。三．早期模型的分析我们将题目中所给的早期模型称为模型一。模型一能够很好的反映出SARS疫情在初期以指数形式增长的趋势，参数k也具有实际的意义，代表了某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率。模型一的优点：一．符合一般规律：我们以前曾经分析过流感、风疹病以及艾滋病的传播规律，发现大部分的传染病，在传播初期都按照指数增长，模型一与此是相符的。二．符合实际：一个模型的好坏最重要的就是和实际数据是否相符，由附录中的几幅图可以看到，无论是对香港还是北京，模型一和前期的实际数据吻合的较好，且可以很明显的看出最高峰，这使决策者可以对SARS的流行情况有一个很直观的认识。三．简单易懂，直观明了：很多传染病，其爆发和传播都是迅速的，尤其是这次SARS，更是以迅雷不及掩耳之速在社会上传播开来，给国家和人民的生产生活产生了的巨大影响。所以，对一个传染病进行准确、快速的预测，对于决策者来说是至关重要的。此模型形式简单，结果直观，一目了然。可以使决策者在传染病传播前期就能作出推断，为其作出决断争取了宝贵的时间。这点是非常重要的。所以，从实用和简单快速的角度来看，模型一是很好的。但是，也正是因为它的简单，使得此模型在描述SARS传播中后期的情况时，出现了比较大的偏差。比如，从所给的北京市疫情的数据表中，可以看到，在6月中下旬，实际情况已经达到日增几例，在7月初累计确诊人数在2500左右，可是根据模型一的结论，到7月初，累计确诊人数却达到了3100，差距比较大。此外，一个很重要的问题是，此模型没有对疑似病例人数和死亡人数做出预测，给决策者提供的信息较少。而且，此模型对人群的分类不够细致，没有考虑到SARS传播本身的特点。比如没有把疑似人群分出来。另外，参数L包括了隔离、病愈不再传染及死去等因素，过于笼统，无法看出哪个因素对影响SARS的传播起重要作用。正是由于这些原因，使得模型一在后期预测上产生偏差，而且无法为决策者提供更多的信息。而这些正是我们在建立模型时考虑到了的。四．模型的建立从非典型性肺炎本身的特点和我国对非典所采取的措施出发，我们可以将人口划分开来讨论。首先我们将所有人口分为已被隔离的人和未被隔离的人，然后将未被隔离的人又分为3类，即正常人群S（也就是易感人群），未被隔离的患病人群A（也就是感染源）以及仅具有疑似症状而未患病的人群B。将已被隔离的人分为两类：被隔离的具有疑似症状的患者C和已确诊的患者D。以上五类人群的关系可由以下方框图表示：模型方框图图1这样进行分类的好处在于我们可以得到不同人群在非典时期的变化趋势，对于决策者采取什么样的策略具有很大的参考价值。由图1，我们可以得到由一组差分方程表示的模型：[][1][1][1][1][1][][1][1][1][1][][1][1][1][1][][1][1][1][1][1][][1][1][1][1][1]StStdBtfCtiDtkAtAtAtkAtcAtjAtBtBtbStdBteBtCtCtcAteBtfCtgCtDtDtgCtjAthDtiDt在这个差分方程中有10个参数，其意义列表如下：参数参数说明aSARS的传染率，即平均一天一个患者能够传染的人数b平均一天一个正常人产生非典疑似症状的概率c未隔离的非典患病者在某一天被认为是疑似症状而被隔离的概率d康复率，既具有非典疑似症状的人康复的概率e具有疑似症状的人被隔离的概率（在这里我们不考虑仅具有疑似症状的病人被误诊为是非典病人的概率）f疑似排除率，即某一天一个疑似病例被排除的概率g疑似确诊率，即某一天一个疑似病人被确证为患者的概率h非典患者的死亡率i非典患者的治愈率模型2的求解：由于求解此模型的解析解是极为复杂的，而且实际上在使用此模型进行分析和预测时并不需要使用它的解析解，所以我们求解采取的方法是通过实际数据确定模型的参数由此得到SARS在未来的走势，从而给出预测。以北京地区为例我们求解此模型来预测：1．参数和初值的确定：确定参数对于求解此模型并用其对未来sars的发展趋势预测具有极为重要的作用，我们取自4月20日开始前20天的北京的非典数据来确立模型中的10个参数：b，d反映的是正常人产生非典疑似症状和此症状消失的概率，我们认为这两个参数在一段时间内保持不变。又考虑到非典疑似症状包括发烧，咳嗽等类似于感冒发烧的症状，所以在确立这两个参数时，可以参照有关这方面的数据。在这里我们取b=0.000001，d=0.4。h，i反映出患者死亡和被治愈的概率，显然这两个参数是随时间变化的，拿治愈率来说，初期治愈率i很低并随时间i逐渐变大，但是由于患者人数的减少，i的增长速度越来越慢，它的值将最终逼近于1。根据以上特性，我们使用logistic函数来构造治愈率函数可以得到：0[]1(1)tkitkei我们又通过自4月20日起北京市10天内的非典治愈率数据来确立函数的参数k=1，0i=0.02，=0.125得到我们也可以使用类似的方法构造死亡率函数，但是我们从数据发现非典死亡率一直稳定在6%左右，为了简化问题就设h=6%。c，e，j为三个隔离参数，j可以理解为患得非典的人被确证并被隔离的概率。显然有j大于c和e，我们取j=0.88。c，e在开始阶段很大，这是为了严格隔离防止漏掉任何非典患者；但随着流行趋势的减弱，c，e会逐渐降低趋近于0。我们取1[]1tete，[]0.01tcte。另外取疑似病人确诊率g=0.035，疑似排除率f=0.1，传染率a=0.795，也就是说每个未被隔离的患者平均每天会传染0.795个人。（这组数据能够很好的拟合前20天的数据）取北京市4月20日作为计算的起始点，当天的sars数据作为模型的初值。7[0]1.410[0]161[0]500[0]402[0]180SABCD2．结果分析使用已确定的参数代入模型2中，预测从起始位置开始60天内非典的流行趋势：日累计病例图2日累计死亡人数图301020304050602004006008001000120014001600现有疑似病例人数(北京)自4月20日开始计算值实际值每日新增病例图4现存疑似病例图5将模型所得数据与实际数据比较可知，我们所建立的模型可以很好的反映非典的流行趋势，累计病例将稳定在2550人左右，死亡人数将稳定在190人左右，这与实际上非典累计病例为2523，以及死亡人数为181的相差不很大。这说明使用此模型来预测非典中后期的疫情是比较准确的，这显然比模型1在对非典后期预测的准确性上具有一定的优越性。其次，此模型能够反映出比模型1的更多的信息，如每日新增病例数，现有疑似病例数等。图3和图4给出了每日新增病例的曲线和现有疑似病例的人数的曲线。虽然数字无法达到非常精确，但是却能够很好的反映出SARS的发展趋势并给出多方面的信息，这也是此模型最大的优点。3．关于何时采取隔离措施的讨论由于我国政府是在4月20日前后开始全面实施防止非典的政策的，所以在上面的模型中我们所用到的参数采取了严格的隔离措施后的参数。通过对各参数的分析，我们认为需要控制并且能够通过政府决策来控制的参数主要是隔离参数c，e，j。构造一个对隔离参数的控制函数L(t)，并取4月20日为起始点和开始实施严格隔离的时间，显然在起始点前后L(t)有很大变化，我们定义在政府的控制水平为1，政府未严格控制时的控制水平为µ，可以构造如下函数：00[]1ttLttt0t为开始进行严格隔离的时间但是根据实际情况可知，控制函数并不是在某一点产生阶跃的，而是有一个增大的过程，所以使用连续变化的控制函数更合理一些。我们使用简单的折线函数来代替上面的L(t)，设过渡时间为t天：00001[]()1ottLttttttttttt现在我们考虑推后5天采取严格的隔离措施时非典疫情传播造成的影响，取t=5，0t=0，µ=0.8，考虑对j，e和c施加控制函数时的情况：01020304050600100020003000400050006000日病例数人数(北京)自4月20日开始估计值实际值累计病例数图6由此可见当控制力为采取严格隔离措施时的80%时，如果推后5天采取措施，非典病人的数量将累计到达6000左右，为实际累计量的2.5倍。这种剧增主要是由于j的变化引起的：被隔离的人数减少，则可感染正常人群的患者相对增多。我们还得到了在此情况下的日增长病例趋势：0102030405060050100150200250300日新增病例人数(北京)自4月20日开始估计值日新增病例图7模型预测的结果是，如果推后5天进行严格隔离，那么将在第20天即5月10日达到增长高峰，当天新增病例将达到253例。然后增长幅度将逐渐降低。由此可见，卫生部适时地采取严格的隔离措施是非常必要的。从模型的角度来说就是要提高三个隔离参数的取值，特别是j值对于患者的增长幅度非常重要。从实际操作来看，就是要对患有非典的患者或是有疑似症状的人尽早隔离。如果晚一天采取措施，都会产生非常严重的后果。4．对其他地区疫情的预测我们提取4月份以后广州的SARS数据，