正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件

1.4.2正弦函数余弦函数的性质x22322523yO23225311x22322523yO23225311一.奇偶性(1)()sin,fxxxRxR任意()sin()fxxsinx()fx()sin,fxxxR为奇函数(2)()cos,fxxxRxR任意()cos()fxxcosx()fx()cos,fxxxR为偶函数二.定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数sinyx定义域：R值域：[-1，1]余弦函数cosyx定义域：R值域：[-1，1]|sin|1|cos|1≤≤xx1cosyx（）例1.求下列函数的定义域、值域(2)3sinyx解(1)：定义域：R.值域：[-1,1].∴值域为解（2）：∵-3sinx≥0∴sinx≤0∴定义域为{x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z}又∵-1≤sinx≤0∴0≤-3sinx≤3[0,3]练习：求下列函数的定义域和值域。(1)3sinyx(2)cosyx定义域值域R3{|22,}22xkxkkZ[0,1][2,4]探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：2x当时，有最大值1yk2最小值：2x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311三.最值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：0x当时，有最大值1yk2最小值：x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合：cos1,yxxRcos,yxxR{|2,}xxkkZ使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合：cos1,yxxRcos,yxxR{|(21),}xxkkZ函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：（2）令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是3sin,yttR{|2,}2ttkkZ222xtk由4xk得所以使函数取最大值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ同理，使函数取最小值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ函数取最大值是3，最小值是-3。3sin2,yxxRx22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间)](22,22[Zkkk都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间3[2,2]()22kkkZ都是减函数，其值从1减小到－1。四、（1）正弦函数的单调性（2）余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。而在每个闭区间上都是减函数，[2,2]kk其值从－1增大到1；在每个闭区间[2,2]kk都是增函数，1sin()23yxxR例3：求函数，的单调递增区间。1:,sin23xyz解令z=函数的单调递增区间是[2,2].22kk12x2,2232kk故54x4,k.33kkZ得15sin()4,42333yxxRkk则函数，的单调递增区间是[]。1sin()32yxxR练习：求函数，的单调递增区间1,sin23xyz令z=函数的单调递减区间是3[2,2].22kk132x2,2232kk由5114x4,k.33kkZ得1511sin()443233yxxRkk则函数，的单调递，[区间是增]。11:y=sin()sin(),3223xx另解六、正弦、余弦函数的对称性x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41y)(sinRxxy)(cosRxxyy=sinx的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：；，Zkkx2.)0(Zkk，，；，Zkkx.)02(Zkk，，任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.求函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx23zx解（1）令则sin(2)sin3yxzsinyz的对称轴为,2zkkZ232xk解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz的对称中心为(,0),kkZ23xk对称中心为62xkzk(,0),Z62kk例5：5sin(2)452484yxAxBxCxDx练习:(1)的一条对称轴是、、、、C该函数的对称中心为.Zkk，，)082(（）(2)求函数的对称轴和对称中心:1cos()24yx函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性2522320xy21-1xRxR[1,1]y[1,1]y22xk时，1maxy22xk时，1miny2xk时，1maxy2xk时，1miny[-2,2]22xkk增函数3[2,2]22xkk减函数[2,2]xkk增函数[2,2]xkk减函数2522320xy1-122对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ奇函数偶函数作业：1、优化设计P32-342、印发的小卷优秀是一种习惯，加油！正弦函数、余弦函数的性质习题课2．函数y＝13sin(ωx＋φ)(ω0)的周期为π3，则ω的值为.63ππ/2一、基础题型A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．以上都不对[答案]B函数f(x)＝sin3x4＋3π2的奇偶性为()3．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数，0≤φ2π，则φ的值为或.4．函数y＝2cos3x的单调增区间为，.5．如果函数y＝2sin(2x＋φ)的图象关于点π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为.[解析](1)令sinx＋π6＝1，则x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)．∴当x＝2kπ＋π3(k∈Z)时，y最小值为3－2＝1.令sinx＋π6＝－1，∴x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，∴当x＝2kπ－23π(k∈Z)时，y有最大值，为3＋2＝5.(2)①若a0，当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值为a＋b；当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值为－a＋b.②若a0，当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝a＋b；当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－a＋b.[例2]求下列函数的单调区间．(1)y＝2sinπ4－x；(2)y＝cos2x.[分析]将(1)先用诱导公式化为y＝－2sinx－π4，然后依据y＝sint与y＝cost的单调区间和复合函数单调性的判断方法求解．[解析](1)y＝2sinπ4－x化为y＝－2sinx－π4.∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴函数y＝－2sinx－π4的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)①2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)②解①得，2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋3π4(k∈Z)．故函数y＝2sinπ4－x的单调增区间、单调减区间分别为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋3π4(k∈Z)．(2)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②解①得，kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，解②得，kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)．故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为kπ－π2，kπ(k∈Z)、kπ，kπ＋π2(k∈Z)．求函数y＝sin3x－π3的单调区间．[解析]解y＝sinu在区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)上是增函数，在区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)上是减函数．由2kπ－π2≤3x－π3≤2kπ＋π2解得，2kπ3－π18≤x≤2kπ3＋5π18，由2kπ＋π2≤3x－π3≤2kπ＋3π2解得，2kπ3＋5π18≤x≤2kπ3＋11π18.∵u＝3x－π3为增函数，∴原函数的单调增区间为2kπ3－π18，2kπ3＋5π18(k∈Z)．单调减区间为2kπ3＋5π18，2kπ3＋11π18(k∈Z)．)sin3)(sin2()1(xxy2sinsin6yxx解：62tty则xtsin令425)21(2t]11[，t42521sin21maxyxt时，即当41sin1minyxt时，即当]11[，求下列函数的最值．例、3212sin6cosyxx变式：求函数的最值．xxycos6)cos1(212解：1cos6cos22xx]11[cos，令xt211)23(216222ttty则]11[，t7)(21cos1maxyZkkxxt时，，即当5)(21cos1maxyZkkxxt时，，即当若满足cosx－sin2x＝a的实数x存在，则实数a的取值范围是________．[解析]∵y＝－sin2x＋cosx＝cos2x＋cosx－1＝(cosx＋12)2－54，∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝－12时，ymin＝－54，当cosx＝1时，ymax＝1，∴－54≤y≤1，故要使方程cosx－sin2x＝a有实数解，应有－54≤a≤1.[例5]设θ是不等边三角形的最小内角，且sinθ＝a＋1a－1，求实数a的取值范围．[正解]∵是不等边三角形中的最小角，∴0°θ60°.由cosθ在(0°，60°)内单调递减知：12cosθ1，即12a＋1a－11.解得a－3.故所求实数a的范围为(－∞，－3)．[例5]已知函数y＝a－bcosx的最大值是32，最小值是－12，求函数y＝－4bsinax的最大值、最小值及周期．[辨析]∵b的符号未定，故－bcosx的最值不仅与cosx有关，还