充要条件练习题

..课时作业(三)[学业水平层次]一、选择题1．(2013·高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．【答案】A2．(2014·镇海高二检测)已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“ab＋cb＝2”，则命题甲是命题乙的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若ab＋cb＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出ab＋cb＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题甲是命题乙的必要而不充分..条件．【答案】A3．(2014·省株洲二中期中考试)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.【答案】A4．(2014·省实验中学月考)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】本题综合考查函数零点与充要条件的判断．当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】B二、填空题5．“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的________条件．【解析】“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．【答案】必要不充分..6．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．【解析】若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．【答案】充要7．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[12，＋∞)上是增函数”的________．【解析】本题考查命题的充要条件的判断．(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在[12，＋∞)上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间[12，＋∞)上是增函..数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[12，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．【答案】(1)③(2)①三、解答题8．(2014·省西工大附中月考)下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)在△ABC，p：sinA12，q：Aπ6.【解】(1)因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．(2)因为A∈(0，π)时，sinA∈(0,1]，且A∈0，π2时，y＝sinA单调递增，A∈π2，π时，y＝sinA单调递减，所以sinA12⇒Aπ6，但Aπ6sinA12.所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．9．设a，b，c分别是△ABC的三个角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．【证明】充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccosA可得1＋2cosA＝cb＝sinCsinB.即sinB＋2sinBcosA＝sin(A＋B)．化简，得sinB＝sin(A－B)．由于sinB＞0且在三角形中，..故B＝A－B，即A＝2B.必要性：若A＝2B，则A－B＝B，sin(A－B)＝sinB，sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB.∴sin(A＋B)＝sinB(1＋2cosA)．∵A、B、C为△ABC的角，∴sin(A＋B)＝sinC，即sinC＝sinB(1＋2cosA)．∴sinCsinB＝1＋2cosA＝1＋b2＋c2－a2bc＝b2＋c2－a2＋bcbc，即cb＝b2＋c2＋bc－a2bc.化简得a2＝b(b＋c)．∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．[能力提升层次]1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但AD，故选A.【答案】A2．(2014·马四校联考)设有如下命题：甲：相交两直线l、m在平面α，且都不在平面β．乙：l、m中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．那么当甲成立时()..A．乙是丙的充分不必要条件B．乙是丙的必要不充分条件C．乙是丙的充分必要条件D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件【解析】当l、m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙⇒丙，反之，当α与β相交时，l、m中也至少有一条与β相交，否则若l、m都不与β相交，又都不在β，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与α与β相交矛盾，即丙⇒乙，故选C.【答案】C3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)2}，Q＝{x|f(x)－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值围是________.【解析】因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，f(x)－4，f(2)＝2，f(x＋t)2，所以x－1，x＋t2，x2－t.又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以2－t－1，即t3.【答案】(3，＋∞)4．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.【证明】充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，显然，当n＝1时，也成立．因为p≠0，且p≠1，..所以an＋1an＝pnp－pn－1p－＝p，即数列{an}为等比数列，必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．因为p≠0，且p≠1，所以an＋1an＝pnp－pn－1p－＝p.因为{an}为等比数列，所以a2a1＝an＋1an＝p，即p2－pp＋q＝p.所以－p＝pq，即q＝－1.所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.