2020高考数学专题突破练1函数的综合问题理含解析

1专题突破练(1)函数的综合问题一、选择题1．函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．7D．0答案B解析解法一：由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0，或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e．因此函数f(x)共有2个零点．解法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．故选B．2．已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则y2x的最大值为()A．18B．1C．54D．72答案C解析由题意，得线段AB：y－1＝5－12－4(x－4)⇒y＝－2x＋9(2≤x≤4)，所以y2x＝－2x＋92x＝－1＋92x≤54，当x＝2时等号成立，即y2x的最大值为54．故选C．3．若变量x，y满足|x|－ln1y＝0，则y关于x的函数图象大致是()2答案B解析由|x|－ln1y＝0得y＝1e|x|＝e－xx≥0，exx0画出图象可知选B．4．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2D．－4答案C解析因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．而在x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－1，所以f(－6)＝－f(6)＝－[log2(2＋6)－1]＝－(log28－1)＝－2．故选C．5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足xf(x)＞0的x的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(0，2)B．(－2，0)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)答案A解析因为f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(－2)＝0，所以f(2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f(x)＜0；在区间(－2，2)上，f(x)＞0，所以xf(x)＞0等价于x0，fx0和x0，fx0，即得x－2或0x2．故选A．6．(2018·广东潮州模拟)设函数f(x)＝x1＋|x|，则使得f(x2－2x)f(3x－6)成立的x3的取值范围是()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(2，3)C．(－∞，2)D．(3，＋∞)答案A解析易得函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x1＋x＝1－11＋x为单调增函数，故函数f(x)在R上为增函数，依题意得x2－2x3x－6，解得x2或x3．故选A．7．(2018·佛山质检一)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，x2－2x，x0，则下列函数为奇函数的是()A．f(sinx)B．f(cosx)C．xf(sinx)D．x2f(cosx)答案C解析易知f(x)为偶函数，即满足∀x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立．研究g(x)＝xf(sinx)，g(－x)＝－xf[sin(－x)]＝－xf(－sinx)＝－xf(sinx)＝－g(x)，故g(x)＝xf(sinx)为奇函数．故选C．8．(2019·青岛质检)已知a＞b＞1，则下列结论正确的是()A．aa＜bbB．alnb＞blnaC．alna＞blnbD．ab＜ba答案C解析取a＝e，b＝e，则B项明显错误；对于D项，若ab＜ba成立，则lnab＜lnba，则blna＜alnb，由B项错误得D项错误；因为a＞b＞1，所以lna＞lnb＞0，由同向不等式相乘得alna＞blnb，进一步得lnaa＞lnbb，所以aa＞bb，所以A项错误，C项正确．故选C．9．若x，y∈R，且满足x＋43＋2018x＋413＝－4，y－13＋2018y－113＝4，则x＋y＝()A．－4B．－3C．3D．4答案B解析函数f(t)＝t3＋2018t13(t∈R)是奇函数，且在R上是增函数，故若f(u)＋f(v)＝0，则必有u＋v＝0，本题中，u＝x＋4，v＝y－1，∴x＋4＋y－1＝0⇒x＋y＝－3．故选B．410．(2018·长沙统考)函数f(x)＝2x＋xx＋1的图象大致为()答案A解析f(x)＝2x＋xx＋1＝2x－1x＋1＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u(x)＝2x，v(x)＝－1x＋1．由于u(x)和v(x)都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C，D；又当x趋向负无穷时，2x趋近于0，－1x＋1趋近于0，所以f(x)接近于1，所以选A．11．(2018·大庆质检一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f′(x)0．若a＝fln12，b＝fln1e－1e2，c＝f(e0．1)，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．bcaC．cabD．acb答案C解析依题意，有f(x)在[0，＋∞)上单调递减，而且f(x)是定义在R上的奇函数，则由其图象知f(x)在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f(x)在R上单调递减．则由ln1e－1e2＝ln1e1－1eln1e＝－1，0ln12ln1e＝－1，e0．10，知ln1e－1e2ln12e0．1，从而结合f(x)的单调性，有fln1e－1e2fln12f(e0．1)，即cab．故选C．12．(2018·长沙统考)设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x＋1的图象相交于点A，B，若函数y＝2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l()A．不存在B．有且只有一条C．至少有两条D．有无数条答案B5解析如图，设直线l的方程为y＝a(a＞0)，则点A(log2a，a)，B(log2a－1，a)．因为直线AB平行于x轴，所以|AB|＝1．取AB中点D，连接CD，因为△ABC是等边三角形，所以CD⊥AB，且|AD|＝12，|CD|＝32，所以点Clog2a－12，a－32．因为点C在y＝2x的图象上，所以a－32＝2log2a－12＝a2，解得a＝32－2，所以直线l只有一条．故选B．二、填空题13．若关于x的不等式x2－4x－2－a0在区间[1，4]内有解，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析不等式x2－4x－2－a0在区间[1，4]内有解等价于a(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈[1，4]，∴g(x)≤g(4)＝－2，∴a－2．14．若存在b∈[1，2]，使得2b(b＋a)≥4，则实数a的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析由题可得2b(a＋b)≥4⇒a＋b≥412b⇒a≥412b－b，即存在b∈[1，2]使得a≥412b－b，因为y＝412x－x在R是单调递减的，所以412b－b在区间[1，2]上的范围为[－1，1]，则a≥－1，故填[－1，＋∞)．15．已知函数g(x)的图象与函数f(x)＝log3x(x0)的图象关于直线y＝x对称，若g(a)·g(b)＝3(其中a0且b0)，则1a＋4b的最小值为________．答案9解析依题意可知g(x)＝3x，∴g(a)·g(b)＝3a·3b＝3a＋b＝3即a＋b＝1，∴1a＋4b＝1a＋4b·(a＋b)＝5＋ba＋4ab≥9当且仅当a＝13，b＝23取“＝”．616．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝log22x，y＝x12，y＝32x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是________．答案12，916解析由2＝log22x可得点A12，2，由2＝x12可得点B(4，2)，因为324＝916，所以点C的坐标为4，916，所以点D的坐标为12，916．三、解答题17．(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m，n0)，且当x1时，有f(x)0．(1)求证：fmn＝f(m)－f(n)；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)比较fm＋n2与fm＋fn2的大小．解(1)证明：∵f(m)＝fmn·n＝fmn＋f(n)，∴fmn＝f(m)－f(n)．(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝fx2x1．∵0x1x2，∴x2x11，∴fx2x10，∴f(x2)f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)fm＋n2－fm＋fn2＝12fm＋n2＋12fm＋n2－fm＋fn2＝12fm＋n2－fm＋12fm＋n2－fn7＝12fm＋n2m＋12fm＋n2n＝12fm＋n24mn∵m＋n24mn≥1，∴fm＋n24mn≥0，故fm＋n2≥fm＋fn2．18．(2018·浙江宁波统考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝x|x－a|．(1)若g(x)为奇函数，求a的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意x1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，求正实数a的取值范围．解(1)∵g(x)为奇函数，∴g(x)＋g(－x)＝x(|x－a|－|x＋a|)＝0恒成立．∴a＝0．此时g(x)＝x|x|，在R上单调递增．(2)x1∈[1，＋∞)，f(x)＝log2(x＋1)，∴f(x1)∈[1，＋∞)，g(x)＝x2－ax，x≥a，－x2＋ax，xa.①当a≤2时，g(x2)在[2，＋∞)上单调递增，∴g(2)＝4－2a≤1，a≥32，∴32≤a≤2．②当2a4时，g(x2)在[2，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．∴g(2)＝－4＋2a1，a52，∴2a52．③当a≥4时，g(x2)在2，a2上单调递增，在a2，a上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．∴ga2＝－a22＋a221，－2a2，不成立．综上可知32≤a＜52．19．(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系：P＝16－x，1≤x≤c，23，xc(其中c为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其8余为合格品．)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？解(1)当xc时，P＝23，∴T＝13x·2－23x·1＝0；当1≤x≤c时，P＝16－x，∴T＝1－16－x·x·2－16－x·x·1＝9x－2x26－x．综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T＝9x－2x26－x，1≤x≤c，0，xc.(2)由(1)，当xc时，每天的盈利额为0，∴1≤x≤c，①当3≤c6时，T＝9x－2x26－x＝15－2(6－x)＋96－x≤15－12＝3(当且仅当x＝3时取等号)，Tmax＝3，此时x＝3；②当1≤c3时，由T′＝2x2－24x＋546－x2＝2x－3x－96－x2知函数T＝9x－2x26－x在[1，3]上递增，∴当x＝c时，∴Tmax＝9c－2c26－c．综上，若