2020高考数学第二章不等式

第二章不等式第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒3a________3b.答案：(1)＞(2)＞(3)＞2.2＋7，3＋6的大小关系为____________．答案：2＋7＜3＋63．已知a＜0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2的大小关系是________．(用“＞”连接)解析：由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1.又a＜0，∴ab＞ab2＞a.答案：ab＞ab2＞a1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b＜c⇒a＜c.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b⇒ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bcB.1a＜1bC．a2＞b2D.a3＞b3答案：D2．“a＞b＞0”是“1a2＜1b2”的________条件．答案：充分不必要考点一比较两个数式的大小基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知p＝a＋1a－2，q＝12x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是()A．p≥qB．p＞qC．p＜qD．p≤q解析：选A因为a＞2，所以p＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝12x2－2≤12－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以p≥q.2．若a＝ln22，b＝ln33，则a____b(填“＞”或“＜”)．解析：易知a，b都是正数，ba＝2ln33ln2＝log89＞1，所以b＞a.答案：＜3．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则S3a3与S5a5的大小关系为________．解析：当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3＜S5a5.当q＞0且q≠1时，S3a3－S5a5＝a11－q3a1q21－q－a11－q5a1q41－q＝q21－q3－1－q5q41－q＝－q－1q4＜0，所以S3a3＜S5a5.综上可知S3a3＜S5a5.答案：S3a3＜S5a5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法作差法其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法作商法判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤考点二不等式的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bd解析：选B因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以1－d＞1－c＞0.又a＞b＞0，所以a－d＞b－c，所以ad＜bc.故选B.2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．若1a＜1b＜0，则下列结论不正确的是()A．a2＜b2B．ab＜b2C．a＋b＜0D．|a|＋|b|＞|a＋b|解析：选D∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴选项A、B、C均正确，∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D.2．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则1a＜1bD．若a＜b＜0，则ba＞ab解析：选BA选项需满足c≠0；取a＝－2，b＝－1知选项C、D错误．故选B.考点三不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·嘉兴期末)已知－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，则3x＋2y的取值范围是____________．解析：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，所以m＋n＝3，m－n＝2，解得m＝52，n＝12，所以3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，由－1＜x＋y＜4，得－52＜52(x＋y)＜10，由2＜x－y＜3，得1＜12(x－y)＜32，上述不等式相加得－32＜52(x＋y)＋12(x－y)＜232，所以－32＜3x＋2y＜232.答案：－32，2322．已知1≤lgxy≤4，－1≤lgxy≤2，求lgx2y的取值范围．解：由1≤lgxy≤4，－1≤lgxy≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，而lgx2y＝2lgx－lgy＝12(lgx＋lgy)＋32(lgx－lgy)，所以－1≤lgx2y≤5，即lgx2y的取值范围是[－1,5]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a＜10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9,18]B．(15,30)C．[9,30]D．(9,30)解析：选D∵a2≤b≤2a，∴3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a.∵6＜a＜10，∴9＜c＜30.故选D.2．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．A＜BD．A＞B解析：选B由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是()A.1a－b＞1aB.1a＞1bC．|a|＞|b|D．a2＞b2解析：选A取a＝－2，b＝－1，则1a－b＞1a不成立．3．(2018·浙江十校联盟适考)设a＞0且a≠1，则“ab＞1”是“(a－1)b＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C若ab＞1，因为a＞0且a≠1，所以当0＜a＜1时，b＜0，此时(a－1)b＞0成立；当a＞1时，b＞0，此时(a－1)b＞0成立．若(a－1)b＞0，因为a＞0且a≠1，所以当0＜a＜1时，b＜0，此时ab＞1；当a＞1时，b＞0，此时ab＞1.所以“ab＞1”是“(a－1)b＞0”的充要条件．4．(2018·金华模拟)设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0解析：选D利用赋值法，令a＝1，b＝0，排除A、B、C，选D.5．bg糖水中有ag糖(b＞a＞0)，若再添mg糖(m＞0)，则糖水变甜了．试根据这一事实，提炼出一个不等式____________．答案：ab＜a＋mb＋m二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不确定解析：选BM－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M＞N.2．若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式的序号是()A．①④B．②③C．①③D．②④解析：选C法一：因为1a＜1b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.法二：由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜1ab，故①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，所以a－1a＞b－1b，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误．由以上分析，知①③正确．3．(2018·宁波模拟)设a，b是实数，则“a＞b＞1”是“a＋1a＞b＋1b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A因为a＋1a－b＋1b＝a－bab－1ab，若a＞b＞1，显然a＋1a－b＋1b＝a－bab－1ab＞0，则充分性成立，当a＝12，b＝23时，显然不等式a＋1a＞b＋1b成立，但a＞b＞1不成立，所以必要性不成立．4．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－mB．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜nD．m＜－n＜n＜－m解析：选D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．5．设a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系是()A．p＞qB．p≥qC．p＜qD．p≤q解析：选Dp－q＝b2a＋a2b－(a＋b)＝b3＋a3－a2b－ab2ab＝aa2－b2－ba2－b2ab＝a－ba2－b2ab＝a－b2a＋bab.因为a＜0，b＜0，所以a－b2a＋bab≤0，即p≤q，故选D.6．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a________2b－b2a(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：∵a≠b，a＜0，∴a－2b－b2a＝a－b2a＜0，∴a＜2b－b2a.答案：＜7．已知函数f(x)＝ax＋b,0＜f(1)＜2，－1＜f(－1)＜1，则2a－b的取值范围是________．解析：由函数的解析式可知0＜a＋b＜2，－1＜－a＋b＜1，又2a－b＝12(a＋b)－32(－a＋b)，结合不等式的性质可得2a－b∈－32，52.答案：－32，528．已知a＋b＞0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是________．解析：ab