2020高考数学第八章平面解析几何

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用范围斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线4．线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α＋45°或α－135°解析：选D由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是()A.y－y1x－x1＝k表示过点P1(x1，y1)，且斜率为k的直线方程B．直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝|OB|C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是xa＋yb＝1D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线解析：选D对于A，直线不包括点P1，故A不正确；对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负，故B不正确；对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为xa＋yb＝1，故C不正确；对于D，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l1：x＋y＋2＝0在x轴上的截距为________；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l2的方程为________________．解析：对于直线l1：x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即直线l1在x轴上的截距为－2；令x＝0，得y＝－2，即l1与y轴的交点为(0，－2)，直线l1的倾斜角为135°，∴直线l2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l2的斜率为1，故l2的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.答案：－2x－y－2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.π6，π2∪π2，5π6B.0，π6∪5π6，πC.0，5π6D.π6，5π6解析：选B设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－33cosα，又cosα∈[－1,1]，所以－33≤tanθ≤33，又0≤θ＜π，且y＝tanθ在0，π2和π2，π上均为增函数，故θ∈0，π6∪5π6，π.故选B.2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.0，π4B.π2，πC.π4，π2D.π2，3π4解析：选C因为直线l的斜率k＝tanα＝1＋m22－1＝m2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是π4，π2.2．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，故k＜0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．又kPA＝－2－－11－0＝－1，kPB＝1－－12－0＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈0，π4∪3π4，π.答案：[－1,1]0，π4∪3π4，π3．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求1a＋1b的值．解：∵kAB＝0－2a－2＝－2a－2，kAC＝b－20－2＝－b－22，且A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即－2a－2＝－b－22，整理得ab＝2(a＋b)，将该等式两边同除以2ab得1a＋1b＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈0，π2且由0增大到π2α≠π2时，k的值由0增大到＋∞.当α∈π2，π时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)，则l的斜率k＝－AB.考点二直线的方程重点保分型考点——师生共研[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线方程在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，∴直线方程为y＝14x，即x－4y＝0；若a≠0，则设直线方程为xa＋ya＝1，∵直线方程过点(4,1)，∴4a＋1a＝1，解得a＝5，∴直线方程为x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．即所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．(2)过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程为________．解析：(1)由3x＋y＋1＝0，得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，所以所求直线的斜率为3.又直线过点A(－3，3)，所以所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为xa＋yb＝1，则a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.答案：(1)3x－y＋6＝0(2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0考点三直线方程的综合应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；(3)|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A2－1k，0，B(0,1－2k)．∵直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴2k－1k＞0，1－2k＞0，得k＜0.∴S△AOB＝12·|OA|·|OB|＝12·2－1k·(1－2k)＝124－1k－4k≥124＋2－1k·－4k＝4，当且仅当－1k＝－4k，即k＝－12时，△AOB的面积有最小值4，此时直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0)，∴截距之和为2－1k＋1－2k＝3－2k－1k≥3＋2－2k·－1k＝3＋22，当且仅当－2k＝－1k，即k＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22，此时直线l的方程为y－1＝－22(x－2)，即x＋2y－2－2＝0.(3)∵A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0)，∴|PA|·|PB|＝1k2＋1·4＋4k2＝21－k＋－k≥4，当且仅当－k＝－1k，即k＝－1时上式等号成立．故|PA|·|PB|的最小值为4，此时直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为()A.－1，－12B.[]－1，0C．[0,1]D.12，1解析：选A由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×(2－a)×2＋12×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，四边形的面积最小，故a＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(