专题05数列2020年高考数学理二轮专项复习

专题05数列本专题的主要内容是数列的概念、两个基本数列——等差数列、等比数列．这部分知识应该是高考中的重点内容．考察数列知识时往往与其他知识相联系，特别是函数知识．数列本身就可以看作特殊(定义在N*)的函数．因此解决数列问题是常常要用到函数的知识，进一步涉及到方程与不等式．本专题的重点还是在两个基本数列——等差数列、等比数列上，包括概念、通项公式、性质、前n项和公式．§5－1数列的概念【知识要点】1．从函数的观点来认识数列，通过函数的表示方法，来认识数列的表示方法，从而得到数列的常用表示方法——通项公式，即：an＝f(n)．2．对数列特有的表示方法——递推法有一个初步的认识．会根据递推公式写出数列的前几项，并由此猜测数列的一个通项公式．3．明确数列的通项公式与前n项和公式的关系：Sn＝a1＋a2＋…＋an；)2()1(11n－SSnSannn．特别注意对项数n的要求，这相当于函数中的定义域．【复习要求】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．【例题分析】例1根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式：(1)3231,1615,87,43,21；(2)2，－6，18，－54，162；(3)9，99，999，9999，99999；(4)1，0，1，0，1，0；(5）12133,1091,857,631,413,23；(6）52,177,73,115,21,53；【分析】本题需要观察每一项与项数之间存在的函数关系，猜想出一个通项公式．这种通过特殊的元素得到一般的规律是解决问题的常用方法，但得到的规律不一定正确，可经过证明来验证你的结论．解：(1)nnnna211212；(2)an＝2×(－3)n－1；(3)an＝10n－1；(4)为偶数为奇数nnan01；(5)nnan2112；(6)232nnan．【评析】(1)中分数的考察要把分子、分母分开考察，当然有时分子分母之间有关系；(2)中正负相间的情况一定与(－1)的方次有关；(3)中的情况可以扩展为7，77，777，7777，77777)110(97nna；(4)中的分段函数的写法再一次体现出数列是特殊的函数，也可写成2)1(11nna，但这种写法要求较高；(5)中的假分数写成带分数结果就很明显了；(6)中的变换要求较高，可根据分子的变化，变换整个分数，如42218463，根据分子，把21变为84，其他类似找到规律．例2已知：数列{an}的前n项和Sn，求：数列{an}的通项公式an，(1)Sn＝n2－2n＋2；(2)1)23(nnS．【分析】已知数列前n项和Sn求通项公式an的题目一定要考虑n＝1与n≥2两种情况，即：an＝Sn－Sn－1不包含a1，实际上相当于函数中对定义域的要求．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，则23211nnnan.(2)当n＝1时，,2111Sa当n≥2时，11)23(21nnnnSSa，此公式也适合n＝1时的情况，则1)23(21nna.【评析】分情况求出通项公式an后，应考察两个式子是否能够统一在一起，如果能够统一还是写成一个式子更加简洁；如果不能统一就要写成分段函数的形式，总之分情况讨论后应该有一个总结性结论．例3完成下列各题：(1)数列{an}中，a1＝2)11ln(1naann，则a3＝()A．2＋ln3B．2＋2ln3C．2＋3ln3D．4(2)已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21(3)数列{an}中，*221,,254Nnbnanaaanann，其中a，b为常数，则ab＝______．【分析】本题中三个小题都涉及数列的递推关系，这类问题，最好的办法是给n赋值，通过特殊的项找到一般的规律．解：(1)∵nnannanaannnnln)1ln(1ln)11ln(1，∴a2＝a1＋ln(1＋1)－ln1＝2＋ln2，a3＝a2＋ln(2＋1)－ln2＝2＋ln3，选A．(2)∵ap＋q＝ap＋aq，∴,36111112aaaaa∴a3＝a2＋1＝a2＋a1＝－6－3＝－9，a5＝a3＋2＝a3＋a2＝－9－6＝－15，a10＝a5＋5＝a5＋a5＝－30．选C．(3)∵a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，∴baaabaa24211，∵254nan，∴212242112323bababa，∴ab＝－1．【评析】这种通过特殊的项解决数列问题的方法今后经常用到，希望大家掌握．例4已知：函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，21)0(f，且数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，求：数列{an}的通项．【分析】首先要应用f(0)与f(1)这两个条件，由题可看出可能与Sn与an关系有关．解：由题知：21)0(1af，f(1)＝a1＋a2＋…＋an＝n2an，即：Sn＝n2an，则Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2)，∴(n2－1)an＝(n－1)2an－1(n≥2)，即：)2(111nnnaann，∴)2(31425313211122334211nnnnnnnaaaaaaaaaannnn，即)2(21111nnnaan，∴)2()1(1nnnan，∵当n＝1时，212111a上式也成立，∴)()1(1*Nnnnan．【评析】本题中，题目给出函数的条件，而f(0)与f(1)的运用就完全转化为数列问题，Sn与an的关系应该是要求掌握的，尤其是在n－1出现时，要注意n≥2的限制，这相当于函数中的定义域．而叠乘的方法是求数列通项的基本方法之一．练习5－1一、选择题：1．数列1614,1311,108,75,42…的通项公式为()A．1313)1(1nnnB．1313)1(nnnC．1323)1(nnnD．1333)1(nnn2．若数列的前四项是3，12，30，60，则此数列的一个通项公式是()A．2)2)(1(nnnB．5n2－6n＋4C．2)1(93nnD．2127ln12n3．数列{an}中，若a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则a7＝()A．11B．12C．13D．144．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2(an－1)，则a2＝()A．－2B．1C．2D．4二、填空题：5．数列2，5，2，5，…的一个通项公式______．6．数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{an}的前4项是______，an＝______．7．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，则它的通项公式是______．8．若数列{an}的前n项积为n2，则a3＋a5＝______．三、解答题：9．已知：数列{an}中，若nnnaaaaa211,21，求：数列{an}前4项，并猜想数列{an}的一个通项公式．10．已知：数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…，求：数列的第50项．§5－2等差数列与等比数列【知识要点】1．熟练掌握等差数列、等比数列的定义：an－an－1＝d(常数)(n≥2)数列{an}是等差数列；qaann1(常数)(n≥2)数列{an}是等比数列；由定义知：等差数列中的项an及公差d均可在R中取值，但等比数列中的项an及公比q均为非零实数．应该注意到，等差数列、等比数列的定义是解决数列问题的基础，也是判断一个数列是等差数列、等比数列的唯一依据．2．明确等差中项与等比中项的概念，并能运用之解决数列问题：cbacab、、2成等差数列，b叫做a、c的等差中项，由此看出：任意两个实数都有等差中项，且等差中项唯一；b2＝aca、b、c成等比数列，b叫做a、c的等比中项，由此看出：只有同号的两个实数才有等比中项，且等比中项不唯一；3．灵活运用等差数列、等比数列的通项公式an及前n项和公式Sn：等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d＝a1＋(n－1)d，dnnnanaaSnn2)1(211；等比数列{an}中，an＝amqn－m＝a1qn－1，)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn；4．函数与方程的思想运用到解决数列问题之中：等差数列、等比数列中，首项a1、末项an、项数n，公差d(公比q)、前n项和Sn，五个量中，已知三个量，根据通项公式及前n项和公式，列出方程可得另外两个量．等差数列中，ndandSdadnann)2(2121、，可看作一次函数与二次函数的形式，利用函数的性质可以解决数列问题．5．等差数列、等比数列的性质：等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；【复习要求】1．理解等差数列、等比数列的概念．2．掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．【例题分析】例1完成下列各题：(1)若等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．138B．135C．95D．23(2)各项均为正数的等差数列{an}中必有()A．8664aaaaB．8664aaaaC．8664aaaaD．8664aaaa【分析】本题在于考察等差数列的基本知识，通项公式及前n项和公式是一切有关数列中考察的重点，注意数列中项数之间的关系．解：(1)∵等差数列{an}中a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，∴a3＝2，a4＝5，∴公差d＝3，首项a1＝－4，∴a10＝a1＋9d＝－4＋27＝23，∴9510210110aaS.选C.(2)等差数列{an}中a4＋a8＝2a6，∵等差数列{an}各项均为正数，∴由均值不等式2628484)2(aaaaa，当且仅当a4＝a8时等号成立即：8664aaaa，选B．【评析】本题中涉及到等差数列中的重要性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，(1)中可直接应用这一性质：a2＋a4＝a3＋a3＝2a3得到结论，但题中所给的答案可看作这一性质的证明，同时，等差数列中通项公式并不一定要用首项表示，可以从任何一项开始表示an，这也是常用的方法，(2)注意观察数列中项数的关系，各项均为正数的要求恰好给运用均值不等式创造了条件，注意等号成立的条件．例2完成下列各题：(1)等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．243(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40＝()A．80B．30C．26D．16【分析】本题中各小题是在运用等比数列的基本知识来解决，通项公式与前n项和公式要熟练运用．解：(1)∵数列{an}是等比数列，∴63211321121qaqaaaqaaaa，∴211qa，a7＝a1·q6＝26＝64．选A．(2)方法一：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，(*)21)1(10110qqaS，(**)141)1(30130qqaS，两式相除：7111030qq，即：1＋q10＋q20＝7q10＝2或q10＝－3(舍)，把q10＝2代入(*)中得到：211qa，∴.30)21)(2(1)1(440140qqaS选B．方法二：a1