专题13不等式选讲2020年高考数学理二轮专项复习

专题13不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；2．绝对值三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(∑ni＝1a2i)(∑ni＝1b2i)≥(∑ni＝1aibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．【复习要求】（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①;baba②;bccaba（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：cbaxcbaxabxcx（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值（4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法【例题分析】例1(1)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.①解不等式f(x)＞2；②求函数y＝f(x)的最小值．[解]①解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－12，x＝4.原不等式可化为：x＜－12，－x－5＞2或－12≤x＜4，3x－3＞2或x≥4，x＋5＞2，所以原不等式的解集为：x|x＜－7或x＞53.解法二：f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝－x－5，x＜－12，3x－3，－12≤x＜4，x＋5，x≥4.画出f(x)的图象y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，(53，2)．由图象知f(x)＞2的解集为x－7或x＞53.②由①的解法二中的图象知：f(x)min＝－92.解绝对值不等式的步骤和方法：(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点．②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式．④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．例2:设函数f(x)＝|3x－1|＋ax＋3.①若a＝1，解不等式f(x)≤4；②若函数f(x)有最小值，求a的取值范围．[解]①当a＝1时，f(x)＝|3x－1|＋x＋3.当x≥13时，f(x)≤4可化为3x－1＋x＋3≤4，解得13≤x≤12；当x＜13时，f(x)≤4可化为－3x＋1＋x＋3≤4，解得0≤x＜13.综上可得，原不等式的解集为x|0≤x≤12.②f(x)＝|3x－1|＋ax＋3＝3＋ax＋2，x≥13a－3x＋4，x＜13，函数f(x)有最小值的充要条件为a＋3≥0a－3≤0，即－3≤a≤3.例3(1)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.[解析]当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；当a－1时，f(x)＝－3x－1＋2a，x≤ax－1－2a，ax≤－13x＋1－2a，x－1，f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；当a－1时，f(x)＝－3x－1＋2a，x≤－1－x＋1＋2a，－1x≤a3x＋1－2a，xaf(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.[答案]4或－6例4已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.①当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；②若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解]①当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为x|23x2.②由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．1．解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．2．解答此类问题应熟记以下转化：f(x)a恒成立⇔f(x)mina；f(x)a恒成立⇔f(x)maxa；f(x)a有解⇔f(x)maxa；f(x)a有解⇔f(x)mina；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)a无解⇔f(x)min≥a.例5(1)已知函数f(x)＝|x－1|.①解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；②若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：fab|a|＞fba.[解]①f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝－3x－2，x＜－3－x＋4，－3≤x＜123x＋2，x≥12，当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－103；当－3≤x＜12时，－x＋4≥8无解；当x≥12时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为x|x≤－103或x≥2.②证明：fab|a|＞fba等价于f(ab)＞|a|fba，即|ab－1|＞|a－b|.因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．例6设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：①a＋b≥2；②a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．[证明]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.①由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．②假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．①构造基本不等式求出代数式的最值，直接证明不等式成立；②直接证明较难，假设两个不等式同时成立，利用①的结论，得出矛盾，则假设不成立．不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．例7(1)已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．①求x1a＋x2b＋2x1x2的最小值；②求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.[解]①因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以x1a＋x2b＋2x1x2≥3·3x1a·x2b·2x1x2＝3·32ab≥3·32a＋b22＝3×38＝6，当且仅当x1a＝x2b＝2x1x2，a＝b，即a＝b＝12且x1＝x2＝1时，x1a＋x2b＋2x1x2有最小值6.②证法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[(ax1)2＋(bx2)2]·[(ax2)2＋(bx1)2]≥(ax1·ax2＋bx2·bx1)2＝(ax1x2＋bx1x2)2＝x1x2，当且仅当ax1ax2＝bx2bx1，即x1＝x2时取得等号．证法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abx22＋abx21＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x22＋x21)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．例8①已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，求x的取值范围，使f(x)为常函数；②若x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝1，求m＝2x＋2y＋5z的最大值．[解]①f(x)＝|x－1|＋|x＋3|＝－2x－2，x＜－34，－3≤x≤12x＋2，x＞1，则当x∈[－3,1]时，f(x)为常函数．②由柯西不等式得：(x2＋y2＋z2)[(2)2＋(2)2＋(5)2]≥(2x＋2y＋5z)2.所以2x＋2y＋5z≤3，因此m的最大值为3.柯西不等式的求解方法柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式．练习131．不等式|x－1|－|x－5|2的解集是()A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)2．解不等式x＋|2x＋3|≥2.3、已知函数f(x)＝x|x－a|(a∈R)．(1)若a＝2，解关于x的不等式f(x)x；(2)若对任意的x∈(0,4]都有f(x)4，求a的取值范围．3．已知x，y是两个不相等的正实数，求证：(x2y＋x＋y2)·(xy2＋y＋x2)＞9x2y2.4．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若abcd，则a＋bc＋d；(2)a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充要条件．5、已知a0，b0，c0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值．6．已知f(x)＝|x|＋2|x－a|(a0)．(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围．7．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．8．已知函数f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式f(x)4－|x－1|；(2)已知m＋n＝1(m，n0)，若|x－a|－f(x)≤1m＋1n(a0)恒成立，求实数a的取值范围．9．设函数f(x)＝x2－x＋15，且|x－a|1，求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1)．10．(1)已