设计必修五课堂讲义2-2-3(2)

预习导学预习导学课堂讲义第二章数列高中数学·必修5·人教A版2.3等差数列的前n项和(二)预习导学预习导学课堂讲义第二章数列[学习目标]1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质．2．掌握等差数列前n项和的最值问题．3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.预习导学预习导学课堂讲义第二章数列[知识链接]如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？预习导学预习导学课堂讲义第二章数列[预习导引]1．数列中an与Sn的关系对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.预习导学预习导学课堂讲义第二章数列2．由数列的Sn判断数列的类型由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n.令A＝d2，B＝a1－d2，则Sn＝An2＋Bn，所以Sn是关于n的常数项为0的二次函数，反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的二次函数，那么这个数列也是等差数列．预习导学预习导学课堂讲义第二章数列3．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≥0，an＋1≤0确定；当a1＜0，d＞0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≤0，an＋1≥0确定．预习导学预习导学课堂讲义第二章数列(2)因为Sn＝d2n2＋a1－d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列要点一利用Sn与an的关系求an例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋12n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列解根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n＞1)，可知，当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋12n－[(n－1)2＋12(n－1)]＝2n－12①当n＝1时，a1＝S1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－12.由此可知：数列{an}是以为32为首项，公差为2的等差数列．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列规律方法已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列跟踪演练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.解当n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.∴an＝3n＝1，2·3n－1n≥2.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列要点二等差数列前n项和的最值例2已知等差数列5,427，347，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．解由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以Sn＝5n＋nn－12－57＝－514n－1522＋112556.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列于是，当n取与152最接近的整数即7或8时，Sn取最大值.另解an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×－57＝－57n＋407.an＝－57n＋407≤0，解得n≥8，即a8＝0，a9＜0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项和或前8项和最大．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列规律方法在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列跟踪演练2在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．解法一∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.∴a1a2…a6a7＝0a8a9….∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列法二∵an＝2n－14，∴a1＝－12.∴Sn＝na1＋an2＝n2－13n＝n－1322－1694.∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列要点三求数列{|an|}的前n项和例3已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋2052n，求数列{|an|}的前n项和Tn.解a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－32n2＋2052n－－32n－12＋2052n－1＝－3n＋104.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列∵n＝1也适合上式，∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即当n≤34时，an0；当n≥35时，an0.(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－32n2＋2052n；课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－32×342＋2052×34－－32n2＋2052n＝32n2－2052n＋3502.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列故Tn＝－32n2＋2052nn≤34且n∈N*32n2－2052n＋3502n≥35且n∈N*.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列规律方法等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列跟踪演练3若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋nn－12d＝13n＋nn－12×(－4)＝15n－2n2；课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×13＋1×42－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝15n－2n2，n≤4，2n2－15n＋56，n≥5.预习导学预习导学课堂讲义第二章数列再见