132函数的极值与导数1

旧知回顾''在某个区间a,b内,如果fx0,那么函数y=fx在这个区间内单调递增;如果fx0,那么函数y=fx在这个区间内单调递减.一般地，函数的单调性与导数的关系：（1）确定函数y=f(x)的定义域；（2）求导数f’(x)；（3）解不等式f’(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f’(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．新课导入观察下图，点a与点b处的函数值，与他们附近点的函数值有什么关系？ab)(bf)(af观察下图中的曲线a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．观察函数f(x)＝2x3－6x2＋7的图象思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?htom()hftMthOa83.1图0th'单调递增0th'单调递减0ah'93.1图观察上图，可以发现t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在此点的导数是多少？此点附近的图像有什么特点？相应的，导数的符号有什么变化规律？0th'单调递增0th'单调递减0ah'93.1图放大t=a附近函数h(t)的图像，如图所示，可以看出'0ha'0.ht当ta时，函数h(t)单调递减，'0;ht当ta时，函数h(t)单调递增，0th'单调递增0th'单调递减0ah'93.1图这就是说，在t=a附近，函数值先增后减.这样，当t在a附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是.'ht'ht'0hacdefoghijxyxfyaboxyxfy103.1图探究下图中函数y=f(x)在a—j点的函数值与这些点附近的函数值有什么函数关系？y=f(x)在这些点得到数值是多少？在这些点附近，该函数的导数符号有什么规律？aboxyxfy103.1图以a，b两点为例，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，而且在点x=a附近的左侧，右侧.'0fa'0fx'0fxaboxyxfy103.1图类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧'0fb'0fx'0fx极大值的概念一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0).如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值和极小值统称极值极小值的概念思考：极值与我们前面学过的最值的概念有什么区别？极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.3144.3fxxx求函数的极值3'2144,4322.fxxxfxxxx解:因为所以下面分两种情况讨论：;2x,2x,0xf1'时或即当.2x2,0xf2'时即当:xf,xf,x'的变化情况如下表变化时当单调递增单调递减单调递增34328xf00xf,222,222,x'因此,当x=-2时有极大值,y极大值=28/3;当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.31fx=x-4x+41.3-123函数的图象如图所示.22oxy4x4x31xf3123.1图?极大值一定大于极小值吗导数值为0的点一定是函数的极值点吗?你还能再举例吗？导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，函数，.虽然，但无论x0，还是x0，恒有，即函数是单调递增的，所以x=0不是函数极值点.3fx=x'2fx=3x'f0=0'fx03fx=x3fx=x知识要点一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充要条件.知识要点一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程.当时：'0fx'00fx（1）如果在附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么是极大值；0x0fx口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.'0'020,0,.xfxfxfx如果在附近的左侧右那么是极小值侧求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．解：定义域为R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1当x变化时，y，y的变化情况如下表：当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．课堂小结（1）可导函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定都是极值点.（2）对于一般函数，函数的不可导点也可能是极值点.（3）极大值与极小值的概念.（4）一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.（5）如果函数f(x)在点x0处连续,总结判别f(x0)是极大或极小值的方法：左负右正为极小，左正右负为极大.高考链接（广东卷7）设，若函数有大于零的极值点，则（）aR3axyexC．3a3a13a13aA．B．D．B（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（）93)(23xaxxxf)(xf3xA.2B.3C.4D.5D解析：利用取得极值时的导数条件进行求解.随堂练习1.下列函数中，x=0是极值点的函数是（)A.y=-x3B.y=cos2xC.y=tanx-xD.y=1/xB2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为()A.–5B.–6C.–7D.–8C3.下列说法正确的是（）A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|√6，则f(x)无极值D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值C5.函数y=x3-3x的极大值为_____.26.对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点___________.充要条件4.已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于()A.6B.0C.5D.1A7.求函数的极值.)0()(2axaxxf解:函数的定义域为(,0)(0,),222()()()1.axaxafxxx令,解得x1=-a，x2=a(a0).()0fx当x变化时,，f(x)的变化情况如下表:()fxx(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.1.习题答案练习（第29页）是函数y=f(x)的极值点，其中是函数y=f(x)的极大值点，是函数y=f(x)的极小值点.24,xx2xx4xx2(1)()62fxxx3(2)()27fxxx3(3)()612fxxx3(4)()3fxxxmin149()1224ffmax(3)54ffmin(3)54ffmax(2)22ffmin(2)10ffmax(1)2ff2.min(1)2ff