153定积分的概念课件

1.5.3定积分的概念定积分的概念内容：应用求定积分利用定积分求不规则图形的面积定积分的几何意义()baSfxdx用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割以曲代直作和逼近求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法:(2)以直代曲:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为(3)作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1y=f(x)xyObaxixix10,()()niixfxSnx1()niiSfxx(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb11()()nnniiiibaSfxxfxn小矩形面积和如果当n+∞时，Sn就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：baf(x)dx，即baf(x)dxni10limf(xi)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.1.曲边梯形面积问题;2.变力作功问题;3.变速运动的距离问题.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值问题情境:定积分的定义一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和如果无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:.x定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)dx—叫做被积表达式，f(x)——叫做被积函数,x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。()baSfxdx被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限()baSfxdx按定积分的定义，有：(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为(3)设物体在变力FF(r)的方向上有位移，则F在位移区间[a,b]内所做的功W为().baWFrdr注：定积分数值只与被积函数及积分区间[a,b]有关,与积分变量记号无关bababaduufdttfdxxf)()()(函数在区间[a,b]上的定积分能否为负的?定积分.____________121)dx(x定积分=.211)dx(x定积分的几何意义当f(x)≥0，定积分的几何意义就是bAoxyay=f(x)S曲线y=f(x)，直线x=a、x=b、y=0所围成的曲边梯形的面积当函数f(x)0，x[a,b]时定积分几何意义就是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数.oxyaby=f(x)S用定积分表示下列阴影部分面积：S=______;S=______;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5S=______;XOy223y=cosx321baSSSf(x)dx即OXS2S1yS3定积分的几何意义：在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).-465OxyAB例1：计算下列定积分.求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决.定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badxxkf)(badxxfk)(定积分关于积分区间具有可加性bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)Ｃ例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图①中，被积函数（,0)(]0[)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图②中，被积函数（,0)(]21[)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图③中，被积函数（,0)(][1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图④中，被积函数（0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例3.解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．2．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取逼近精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取逼近3.定积分的几何意义及简单应用1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号.20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式.成立：0sin20xdx200sin2sinxdxxdx1）．2）.1）．2）.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积.0yxy=x2120xy=g(x)aby2.dxx1021计算积分义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102dxx所以