生物医学信号处理历年试题_电子科大_饶妮妮

生物医学信号处理试卷集试卷一答案和评分标准：一、假设有两个离散平稳随机过程)(),(nynx，mxmR6.0)(，mymR8.0)(，它们统计独立，求这两个随机过程的乘积的自相关函数和功率谱密度。（14分）解：设z=xy，myxzmRmRmnynyEmnxnxEmnymnxnynxEmnznzEmR48.0)()()]()([)]()([)]()()()([)]()([)(（6分）mmjmzjzemRDTFTeP48.0)]([)(（4分）=cos96.02304.17696.0（4分）二、设线性系统如图所示，已知nnns,相互独立，且2sin)(jseS，21)(jneS。要求设计一个滤波器2sin)(ceHj，试确定c使得滤波后的输出nsˆ与真实信号ns的均方误差最小，即])ˆ[(2nnssE最小。（14分）解答：设误差为nnnsˆse其自相关为：)m(R)m(R)m(R)m(R)]sˆs)(sˆs[(E)ee(E)m(Rsˆssˆsˆssmnmnnnmnne（2分）做傅立叶变化：)()()()()(ˆˆˆjsjssjssjsjeeSeSeSeSeS（4分）4262jnjs2jjx2jˆsin21sin])(eS)(eS[)e(H)(eS)e(H)(cceSjs（2分）4isiisxiˆsin)e(S)e(H)e(S)e(H)(ceSjss4isiixsisˆsin)e(S)e(H)e(S)e(H)(ceSjs（2分）2214321cc（3分）求导等于零：43optc（1分）)()()(nnnsnx)(ˆ)(nsny)(nh三、简述横向结构的随机梯度法算法步骤。（14分）解答：步骤1：]x,x,x,x[)T(Xp1p-T2-T1-TT个值观察到（2分）步骤2：先给定。预先给出，与，初值计算TTeW(T)Xe2(T)W1)(TW（4分）步骤3：1)(TX)1(TWde]x,x,x[)1T(Xx1T1T2pTT1T1T计算新的误差：后，令当有新观测值（5分）转入步骤2，代入得到W（T+2），e（T+2）…..使得W接近最优解。（3分）四、利用)1()()1()(00pinvpppAAA推导L-D算法来解Y-W方程：0)()(01mkmRamRpkxxkxx；0)()0(12mkRaRpkxxkxxw。（16分）解：P阶Y-W方程写成矩阵形式：001)0()1()()1()0()1()()1()0(21wppppaaRpRpRpRRRpRRR，)()()(PppEARp-1阶方程：001)0()2()1()2()0()1()1()1()0(2)1(1111pwpppaaRpRpRpRRRpRRR，)1()1()1(PppEAR，（2分）)1()1()1(PinvpinvpEAR（2分）)1()()1()(00pinvpppAAA=)()1(1)()1(1)(001ppppppaa，所以有：)()()1()()1()(ppppkpppkpkaaaa（4分）)()(ppAR=)1()1()()()1()1()1()1()()1()(0)1()()1()0(0)0()1()()(00pinvppRppRppinvpppARRpRRRARRpRpRRAAR)()1(11)1()(11)1()1()()()()(ppinvpkpkppkpkpEEkpRapRkpRapRE，（4分）由最后一行：2)1(11)1()()()(pwpkpkpkpRapR（2分）由第一行：])(1[2)(2)1(2)(ppwpw，得到三个推导式。（2分）五、有一信号)n(s，其自相关函数2,1,0,7.0)(mmRms，被一零均值，方差为0.4的白噪)n(n所淹没，)n(s与)n(n统计独立。设计一个长度等于3的FIR数字滤波器，其输出)n(y使得]))n(sy(n)[(E2－最小化。（14分）解：根据均方误差最小准则得到W-H方程：1,,2,1,0)()()(10NjmjRmhjRNmxxoptxs，其中x=s+n，表示输入信号，因为N=3，且)m(R)m(R)m(Rnsxx，)m(R)]mn(s)n(n)s(n)[(E)]mn(s)n(x[E)m(Rsxs，代入W-H方程得：2,1,0)]()()[()(n20ssjmjRmjRmhjRmopt（4分）把2,1,0,7.0)(mmRms，)m(4.0)m(Rn代入上式得三个方程：20mm-2opt220mm-1opt20mm-optm)](20.4(m)[0.7h0.7:2jm)](10.4(m)[0.7h0.7:1jm)](0.4(m)[0.7h1:0j－－－（4分）2optoptopt227.07.01)2(h)1(h)0(h4.17.07.07.04.17.07.07.04.1解得：0517.01681.00.6121)2(h)1(h)0(hoptoptopt（4分）所以设计的滤波器的传递函数为：-210517z.01681z.06121.0)z(H（2分）六、如何用AR法进行谱估计？为什么AR谱估计需要的数据比古典法短？（14分）解：（2分）)(nw)(nx)(nh在上图模型中，输入输出的功率谱关系为：2j2wjx)e(H)e(P（3分）p1k2kj)p(k2wjxp1kk)p(k|ea1|)e(Pza11)z(HAR代入建模为例以（5分）古典法是通过DFT法计算得到功率谱估计的，DFT是把数据看成是周期重复的假设下做出的；AR谱则是对延迟p范围外的自相关函数做预测延伸取得的，因而数据的有效范围宽得多。（4分）七、画出卡尔曼滤波的信号模型和一步递推法模型图。（14分）解：信号模型：（7分）一步递推法模型：（7分）S(k)C(k)1)A(k1zw(k)(k)w1X(k)1)S(k(k)SˆC(k)A(k)1zX(k)1)(kSˆH(k)(k)Xˆ(k)X~试卷二答案和评分标准：一、nx是零均值，方差为2x的白噪过程，把它先送入一个平均器，得)(211nnnxxy，然后再将ny送给一个差分器1yyznnn，求nz的均值、方差、自相关函数和功率谱密度。（14分）解答：1yyznnn)xx(21)(212n1-n1nnxx)(212nnxx（2分）0))xx(21(E)z(E2nnn（2分）)z(E2n2z)z(En2])(41[E22nnxx)]x2x(41[E22nn22nnxx=2x/2=)0(Rnz（2分）)1(Rnz=)zz(E1nn)]xx)((41[E1n1n2nnxx=0)2(Rnz=)zz(E2nn)]xx)((41[En2n2nnxx=－2x/4当|m|=3，自相关都为0。)m(Rnz=)]2m(21)2m(21)m([212x（6分）)w(Pnz]e21e211[21jw2jw2-2x]cos2w1[212x（2分）二、一个一阶递归滤波器，输入是零均值、方差为1的白噪声，滤波方程是11abxayynnn证明：cos21)(22aabePjy；求)(mRy。（14分）解：2)()()(jjxjyeHePeP，（2分）对滤波方程求传递函数：11)(azbzH，则cos21)(222aabeHj，（4分）而1)(jxeP，所以得证：cos21)(22aabePjy（2分）)()()()(mhmhmRmRxy，而)()(mmRx，)()(mubamhm，)()(mubamhm（3分）02222)()()()()()(nnmnnnmmmynmuaabnuanmuabmuamuabmRmmmnnmmnnmnnmaabaabaabmaabaabmnmuaab222222220220221)1/(,0)1/(,0)(（3分）三、估计N点长的、零均值、实序列)(nx的功率谱)(ˆxS，用Welch法过程如下：.)(1)(ˆ;)(M1)(S),(XFFT,2M,)n(w)n(xLkN)n(x12iiikiixiSkUSX，得到然后的幂次点长，为补零至加窗点长的小段，段点长分成证明：如果各段数据互相独立，则Welch法谱估计的均值是dWSSExx)()(21)](ˆ[，其中210)(1)(MnnjenwMUW；（8分）归一因子U的作用是使得估计的均值渐进无偏，即当M不断增加时有)()](ˆ[xxSSE。证明：U=102)(1MnnwM。（8分）证明：])()([1)]([1])(1[)](ˆ[2101MnnjiikiixenwnxEMUSEUSkUESE1010)()()()]()([1MnMmmnjiiemwnwmxnxEMU由于x是零均值的，所以deSmnRmxnxEmnjxxii)()(21)()]()([，代入上式)](ˆ[xSE])(21[)()(1)(1010)(deSemwnwMUmnjxMnMmmnj（4分）demwenwSMUMmjmMnjnx])([])()[(2110)(10)(denwMSUMnjnx])(1)[(21210)(定义210)(1)(MnnjenwMUW，则)](ˆ[xSEdWSx)()(21（4分）证明：当M逐渐增加时窗W（w）的宽度逐渐减少，趋于冲击相应，此时)](ˆ[xSEdWSx)()(21dWSx)(21)(，欲使均值渐进无偏，则后半部分应等于1：1)(21dW，即1)(21210denwMUMnnj（4分）denwMUMnnj210)(21demwenwMUMmjmMnjn])([])([211010demwnwnwMUmnMnMmmnjMn])()()([211010)(102，后一项正交积分为零，1)(1])([21102102MnMnnwMUdnw