物理研讨3

物理研讨课总结英才三班2015030201017江忠涛一、叠加原理的应用叠加原理在电场中的应用很广泛，特别是在求电场强度、电势等问题上，叠加原理是基本思路和方法。下面以求电场强度为例，分析叠加原理的应用问题。对于真空中静止的点电荷，它在外界某一点产生的电场满足库伦定律304qErr点电荷类似质点，是抽象出来的物理模型，在实际生活中并不存在点电荷。如果我们想要求得带电体在某一点产生的电场，我们可以将带电体视为很多点电荷的集合，带电体在那一点的场强就是带电体上的每一个点电荷在那一点场强的矢量叠加。取一个带电体上的点电荷dq(qi)，则在某一点电场强度为3030()4()4 qiiiidqrrEqrr连续带电体离散点这就是叠加定理最基本的应用。也是求场强最基本和通用的方法。对于连续带电体值得注意的是这里的变量除了dq还有距离r，因为每一个点电荷到目标点的距离是不一样的。所以这里的积分形式不定，可能是一重二重三重，主要取决于带电体的形状及电荷分布。除点电荷电场可以叠加以外，其他形式的基本带电体组成的复杂带电体也可以叠加，下面以圆盘和圆柱体产生场强的求法介绍叠加定理。首先计算带电圆环在其轴线上一点的场强。如图有一个带电圆环，半径为R，求其轴线上距离圆心距离为x的点的场强。由对称性，只在x方向有电场。3222020cos44()dqxdqdErxR在圆环上对圆心角积分，得rdqθxyz33222222004()4()xxQEdEdqxRxR对于圆盘而言，可以视为无数个圆环的叠加每一个小圆环在P点产生的场强为3222024()xrdrdExr在0-R间积分可得P点的场强3220220202124()RxrdrxExRxr进一步我们可以求得圆柱体在轴线上的点的场强，只需要将圆柱体看成无数个圆盘面的累积叠加。如图所示的圆柱体半径为R，长度为L。每一个小圆盘在P点产生的场强为22012()dyxLydExLyR则场强为从0到L的积分220012()LdyxLyExLyR其他带电体的情况很相似。比如带电带可以视为无数个均匀带电直线的叠加，圆柱面可以视为无数个圆环的累积叠加，圆柱可以视为无数个圆盘的叠加等等。叠加定理主要是可以把多重积分化成一重积分。这个过程就要用到线密度、面密LPx度、体密度的转化。对于一个小的体积dV，其电荷量为dq，则体密度为dqdxdydz那么其三个方向的面密度为xyxzyzdqdzdxdydqdydxdzdqdxdydz其三个方向的线密度为xxyxzyyzxyzyzxzdqdydzdydzdxdqdxdzdzdxdydqdxdydydxdz上面的圆环，它相当于构建了一个新的“点电荷”，只不过和点电荷的适用场合不同。用它求出圆盘的场强时，我们又把圆盘视为一个新的“点电荷”。在求一些带电体的场强时，用叠加定理求解场强十分方便。二、各种等价性分析均匀带电直线和圆弧在圆心处的场强时等价的，线密度均匀为直线和均匀带电圆弧相切。如图所示：取直线上的微元dx，对应的圆心角和圆弧为dθ和dl。这个线微元在圆心处的场强微元是120044cosdxddErr而圆弧在圆心处的场强微元是220044dlddErr于是有12dEdE由此可知，对于线密度相同的电荷均匀分布的圆弧和直线，如果平面角相同，那么在圆心处的场强也是相同的。进一步拓展，如果我们把与圆相切的直线换成若干条与圆弧相切的折线，若平面角相同，则折线在圆心产生的场强和圆弧产生的场强也是等价的。如下图在特殊情况下，平面角等于2π，即圆弧成了一个圆，折线变成了封闭的多边形，圆是此多边形的内切圆。上面的结论依然成立，即折线在圆心的场强与圆在圆心的场强等价。而电荷量均匀分布的圆在圆心处的场强为0，则此多边形在圆心的场强为0。反过来，如果一个均匀带电多边形不具有内切圆，则在多边形内部的一点场强不能用此法来求。如下图对于四边形ABCD，其对于O点的场强为0。但对于四边形A’BCD’，没有内切圆，在O点的场强不为0。现在我们推广到三维的情况，从平面角变成立体角。如图所示平面微元dS在圆心处产生的场强为1112004cos4cosdSddEr小圆面dS’在圆心处产生的场强为22220044dSddEr只有满足12dEdE即12cos时，平面和圆面等价。所以三维情况下相同立体角，面密度不均匀。三、从Gauss定理看对称性和对称性破缺高斯定理可以用来计算场强。特别是不均匀的场强，选取合适的高斯面，就可根据高斯定理计算场强。高斯定理说明，对于任一闭合面，其电通量等于闭合面内部的电荷量除以介电常数，即0iiSqEdS这个公式形式简洁，但是具体计算场强并不容易。如果要求解场强我们需要解一个积分方程，这是十分困难的。所以运用高斯定理解场强需要一定条件。具体来说就是当带电体具有对称性时，电场E和dS方向相同且||E在高斯面上不变时，积分方程转化为一次方程，这样才能求解场强。对于出现对称破缺的带电体，可以先把破缺处补全为一个对称的均匀带电体，然后把带电体视为补充部分和整个带电体场强的叠加。现在有一个均匀带电的球，半径为R1。其中与圆心相距R处被挖去了一个半径为R2的小球，如下图。则此带电体在不同位置产生的场强可以看成半径为R1的大圆产生的场强与电荷相反的半径为R2的小圆产生的场强的矢量和，设这个点为P，离小圆圆心距离为r1，大圆圆心距离为r2。则场强为R1R2R3322213302013221300121000,33,33,333RrRrrrrRrErrrPPPR在大圆外面在大圆里小圆外在小圆里面四、导体的电荷分布在外电场的作用下，带电体的电荷分布一般不是均匀的。如下图所示，一个电荷量为+q的点电荷在带电导体求外距离为l处，导体球接地，则导体球上的电荷分布不是均匀的。显然，靠近点电荷处的导体球处感应电荷为负电荷，远离点电荷处为正电荷。导体球接地，即U=0，设感应电荷量为Q，导体是个等势体，则00044QqRl解得RQql所以感应电荷分布不均匀。又如下图，一个带电量为+q的点电荷在导体球外，在点电荷作用下导体球上会产生感应电荷。则导体球上靠近点电荷处为负电荷，远离处为正电荷。且分布不均匀。参考文献：曹灵吉，滕保华《从平面角和立体角讨论静电场中某些电场等价性》物理与工程Vol.19No.42009+qlR+q