-6-2013中文第6章-Bernoulli-Euler-beam

计算力学(力学系本科生)Chapter6二维Euler-Bernoulli梁单元6.1二维梁理论梁是用来承受横向载荷的结构第六章二维Euler-Bernoulli梁单元(6.1二维梁理论)梁的横向载荷主要由弯曲变形来承载(中性面)•neutralsurface(中性面)：位于上底面和下底面之间的平面，该平面上的材料沿梁轴线方向既无伸长也无缩短。•梁理论的假定最简单和常见的棱柱形截面直梁模型有：Bernoulli-Euler梁理论Timoshenko梁理论(经典梁理论)(工程梁理论)(考虑了横向剪应变,存在剪切闭锁问题(shearlockingproblem)中性面与横截面之间的交线叫横截面的中性轴(neutralaxis)•如果梁由单一材料构成，中性轴的位置仅由截面的几何形状决定。单元坐标系统(ElementCoordinateSystems)中性轴横截面对称面2.横截面是不变的或者光滑变化的。3.垂直于梁轴线的横截面在梁弯曲后仍然垂直于梁轴线。1.对称面(Planarsymmetry).梁沿长度方向是直的，横截面有一个沿长度方向的对称面，横向载荷的合力位于此对称面上。二维经典梁理论的假定6.梁材料为均匀弹性材料。5.横向挠度、转角、变形为无限小。4.只考虑由于弯曲引起的应变能，不考虑横向剪切和轴向拉伸。satisfysymmetryconditionsforthesimplebendingtheorydoesnotsatisfythesymmetryrequirement梁弯曲后高度为y处的材料长度为:平面曲线的曲率半径为:第六章二维Euler-Bernoulli梁单元(6.2EB梁的运动学)6.2EB梁的运动学•平面梁在xy平面内的运动可以用二维位移场描述：transversedisplacement(横向位移)axialdisplacement(轴向位移)Note:忽略z方向由于泊松效应引起的运动。位移由垂直面假定可以得到rotationofacrosssectionaboutz,counterclockwise=positive.应变,应力,剪力,弯矩EB梁的内能完全由弯曲应变和应力引起。κ-----deformedbeamaxiscurvature(曲率)y由一维虎克定律有应力合力(stressresultant)为横截面上σ的积分,称为弯矩(bendingmoment)MEI关于z轴的弯曲刚度(bendingrigidity)momentofinertia(惯性矩)ofcrosssectionaboutthez(neutral)axis考虑梁微元y方向上的力平衡。yq(x)再考虑对右端面上任意一点的矩平衡：忽略二阶小量(dx)2得总势能泛函总势能为注意到U和W依赖于挠度v(x),于是注释:如果作用有沿梁长度的分布弯矩：m(x)每单位梁长度，则该分布载荷做的外力功为•运动方程(KE,Kinematicsequations):•本构方程(CE,Constitutiveequation):小结•平衡方程(BE,Balanceequations):•位移边界条件:•最简单的EB梁单元有两个节点,i,j,共4个自由度:6.3二维梁单元形函数第六章二维Euler-Bernoulli梁单元(6.3二维梁单元形函数)有4个自由度的2节点EB梁•满足2个节点C1连续的简单形函数是三次Hermitian函数ξ从－1到1之间变化，在节点i处(x=0)为－1，在节点j处(x=L)为1.HermitianshapefunctionsofplaneEBbeamelementcurvature-displacementmatrix.第六章二维Euler-Bernoulli梁单元(6.4二维EB梁单刚及节点载荷)6.4二维EB梁单刚及节点载荷CheckstiffnessmatrixandnodalforcebyMapleHomework:(1)Derivethenodeforcevectorf(e)ofEBbeamelementsubjecttoauniformlydistributedmomentmperunitlength.(2)Forarbitrarym(x),showthat第六章二维Euler-Bernoulli梁单元(6.5Maple演示及例题)6.5Maple演示及例题例6.1:一个等截面悬臂梁受到作用于自由端的向下集中力.梁材料Young’s模量E=69.0GPa.12解:第一步:计算单元刚度阵有限元平衡方程为Canwesolvedabovelinearequationsrightnow?第二步:施加边界条件在梁的固定端于是得到方程组:第三步:求解有限元方程组得到解为注意这个有限元解与解析解完全一致.RecallthatThus如果q(x)=0,则挠度v为x的三次多项式,正好与用形函数插值假定的位移场一致.如果没有分布载荷,EB梁的有限元解就是简单梁理论的解析解.例6.2:一个梁两端固定，在中点受集中力P和集中弯矩M作用.求中点的挠度和转角，以及两端的支反力.解:有限元刚度阵为系统有限元方程为载荷与边界条件为引入边界条件后的有限元方程为解之得从系统有限元方程，可以得到边界支反力梁的应力为例6.3:一个悬臂梁受分布载荷p作用.求梁自由端的挠度和转角,以及固定端的支反力.解:节点载荷为于是有限元方程为载荷与边界条件为得到引入边界条件的有限元方程解之得从有限元方程可以计算支反力(1)有限元解v(x)(for0xL)与解析解有差异.基于简单梁理论的解析解是x的四次多项式,而有限元解是x的三次多项式.(why?)注释:CheckwithMaple(2)如果忽略由于分布力等效到节点而产生的弯矩m,则有由此导致的误差会随着单元数量的增多而减少.在一些有限元应用中有时忽略m，也能够通过使用更多的单元得到收敛解.例6.4:如图，一个悬臂梁在自由端用一弹簧支撑，划分为2个单元。P=50kN,k=200kN/m,L=3m,E=210GPa,I=2×10-4m4.求自由端挠度和支反力.解:弹簧的刚度阵为把这个刚度阵添加到系统总刚中(seeExample6.2),得到载荷与BCs:引入边界的有限元方程为解之得从系统有限元方程得到支反力