常见的数学思想方法

1PADQCEBxy2常见的数学思想方法一、中考考点：1.方程（组）是解决应用题、实际问题和许多方面数学问题的重要基础知识。在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程（组）来解决，这就是方程思想。2.数形结合思想是一种重要的数学思想方法。通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。3.所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。二、基础练习：（一）整体思想1.如果代数式1322xx的值为2，那么代数式xx322的值等于()A．21B．3C．6D．92.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（）A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定（二）方程思想3.如图，已知点A是一次函数xy的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）A．2B．22C．2D．22（三）数形结合思想4.如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是___________．5.函数)0(kxky的图象如图所示，那么函数kkxy的图象大致是（）（四）化归思想6.如图，当半径为30cm的转动轮转过60°角时，传送带上的物体A移动的距离为________cm．（计算结果不取近似值）7.将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两面三刀周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是__________cm．8.在图中，所有多边形的每条边的长都大于2，每个扇形的半径都是1．则第n个多边形中，所有扇形的面积之和是__________．（五）数学建模思想9.如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角．在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）（六）函数思想10.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．（1）写出m与x之间的关第式；（2）写出y与x的函数表达式（不要求写自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？（七）统计思想11．某地区有一条长100千米,宽0.5千米的防护林.有关部门为统计该防护林的树木量，从中选出5块防护林（每块长1千米,宽0.5千米）进行统计，每块防护林的树木树量如下（单位：棵）：65100、63200、64600、64700、67400．那么根据以上数据估算这一防护林总共约有_________棵树．12．甲袋中放着19只红球和6只黑球、乙袋则放着170只红球、67只黑球和13只白球，这些球除了颜色外没有其他区别，两袋中的球都已经搅匀．如果只给一次机会，蒙上眼睛从一个口袋中摸出一只球，摸到黑球即获奖，那么选哪个口袋摸球获奖的机会大？请说明理由．三、典型例题：例1、如图，△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，半圆O是△BDE的外接半圆。⑴求证：AC是半⊙O的切线；⑵若AD=6，AE=62，求DE的长。例3、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm／秒的速度移动，点Q从点C开始沿CB甲乙矿石（t）104煤（t）48ABCDEO例2、产品资源2AG(O)ECBF①AG(O)ECBF②KH边向点B以2cm／秒的速度移动。如果P、Q分别从A、C同时出发。设移动的时间为t。求：（1）t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形；（2）t为何值时，AB的中点E到线段PQ的距离为7cm。例4、如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点O从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs．(1)Q点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x的代数式表示）(2)当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形?(3)记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由.四、课后作业：1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60○，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长．2.已知二次函数212yxbxc的图象经过点A（－3，6）并且与x轴相交于点B（－1，0）和点C，顶点为P（1）求二次函数的解析式；（2）设D为线段OC上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标3．已知二次函数y=21x2+bx+c图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P。⑴求这个二次函数的解析式；⑵设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标。5．已知ABC△，904BACABACBD∠，，是AC边上的中线，分别以ACAB，所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．（1）在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；（2）求直线BD的函数关系式；（3）直线BD上是否存在点M，使AMC△为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．6．把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°＝，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）。(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的516？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由.yBADCx