804_Random vibration analysis_new_pdf

14.4.结构风振响应分析与等效静风结构风振响应分析与等效静风荷载确定荷载确定WindWind--inducedresponseanalysisandinducedresponseanalysisandequivalentstaticwindloadingequivalentstaticwindloading武武岳，孙岳，孙瑛瑛HarbinInstituteofTechnologyRequiredCourseforGraduateStudents1§4.1结构风振响应类型Kindsofwind-inducedresponse2★风振响应的基本类型••顺风向振动顺风向振动顺风向顺风向f(t)横风向横风向••横风向振动横风向振动„按响应方向分类••抖振抖振••涡激振动涡激振动„按响应性质分类••自激振动自激振动3★抖振响应（buffetingvibration）指由来流的速度脉动引起的结构随机振动。212()()==papaPCUptCUutρρ平均风压平均风压脉动风压脉动风压24考虑气弹效应的抖振响应平均风速U脉动风速ux结构速度x相对速度relUUux=+−212rlDeMxCxKxACUρ++=＋＋2(2)DUxACuρ+−=2(222)DUUACUuxρ+≈−5时间/s位移/mmWindonlyWind+structure2(222)DAMxCxKxUxCUUuρ++=+−阻尼项：()DCCAUxρ+气动阻尼比：12DaCAUmρξω=••始终为正；始终为正；••通常较小，通常较小，可以忽略。可以忽略。6★涡激振动（vortexinducedvibration)因结构自身或其它结构形成的涡旋引起的结构受迫振动。方柱的涡激振动7方柱表面的升力系数和阻力系数时程38方柱表面的升力和阻力功率谱9锁定效应（Lock-in）„当漩涡脱落频率增加到结构自振频率时，将产生共振；„此时结构自振频率控制了漩涡脱落频率，即便增大风速，在一定风速范围内漩涡脱落频率亦不改变。风速vfBStU=自振频率旋涡脱落频率vUfStB=vsff=非锁定区：锁定区：锁定区锁定区crU1.3crU旋涡脱落频率fv10★自激振动（aeroelasticvibration）在某些情况下，激励部分可以产生负阻尼成分，当风速达到某值时负阻尼大于正阻尼，此时振幅增大，直到产生失稳式破坏。11两种典型的自激振动1）驰振（弯曲或扭转的单自由度的气弹失稳现象）；2）颤振（弯扭耦合的气弹失稳现象）。输电线驰振桥梁颤振412§4.2随机振动理论基础Basicknowledgeofrandomvibration13★结构动力响应分析方法„时域分析方法在时间域内，直接求解动力平衡方程，得到结构响应的时程信息；评价：适用范围广，但计算费时。„频域分析方法在频域内，根据随机振动理论，由风压谱和结构动力特性直接得到结构响应谱密度；评价：适用于线性或弱非线性结构，计算效率高，物理含义清晰，理论研究应用较多。14作用时程作用时程010203040506070-80-60-40-20020406080a(gal)t(s)风速时程地震波时程15★补充知识：‰单自由度结构自由振动下的反应‰单自由度结构在正弦激励下的反应‰单自由度结构在随机激励下的反应‰多自由度结构在随机激励下的反应516★★单自由度体系＋自由振动单自由度体系＋自由振动运动方程运动方程::()()()0mxtcxtkxt++=ckm12cmξω=阻尼：阻尼比：mkcξ2=1kmω=结构自振频率：17„假定初始位移X0，体系的反应可表示为：θ)t(ωeρx(t)Dξtω−⋅=−cos1)1/(220ξρ−=X振幅：211ξωω−=D阻尼振动频率：)1/(tan221ξξθ−=−由初速度引起的相位角：-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81012345time/Tamplitudeteξωρ1.−18★★单自由度体系＋正弦激励单自由度体系＋正弦激励正弦激励正弦激励运动方程运动方程::0()sinmxcxkxPtPtω++==荷载频率：荷载频率：P(t)=P0sinωtckm2nωπ=结构固有频率：结构固有频率：112nωπ=11nnωβω===荷载作用频率结构固有频率19()()()122220()12sinPxttkβξβωφ−⎡⎤=⋅−+⋅−⎢⎥⎣⎦0121()(sinsin)1Pxtttkωβωβ=⋅⋅−−„无阻尼体系在初位移和初速度均为零时，体系的反应为：静位移放大系数稳态反应瞬态反应相位角„阻尼体系稳态解::620动力放大系数动力放大系数&&频率比频率比当β=1.0,D(n)=1/2ξ0max2Pxkξ≅()()1/2222()12Dnβξβ−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦β=荷载作用频率结构固有频率当β→+∞D(n)→0max0x→当β→0D(n)→1max0/xPk=21动力放大系数动力放大系数&&阻尼比阻尼比0.11.010.0100.001234βD(n)ξ=0.01ξ=0.05ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.5()()1/2222()12Dnβξβ−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦对于工程阻尼比范围，只有当频率比接近于1时，阻尼比的影响才较为显著。22相位角相位角&&频率比频率比122tan1ξβφβ−=−反应的相位比荷载相位所滞反应的相位比荷载相位所滞后的角度。后的角度。相位角随频率和阻尼的变化相位角相位角φφ频率比频率比ββ23★★单自由度体系＋随机激励单自由度体系＋随机激励随机激励随机激励kmP(t)时域方法：将荷载分割成无数无穷小脉冲，将各将荷载分割成无数无穷小脉冲，将各自由振动反应叠加，得到总反应。自由振动反应叠加，得到总反应。频域方法：将荷载展成多个简谐分量，叠加各简将荷载展成多个简谐分量，叠加各简谐反应，即可获得总反应。谐反应，即可获得总反应。724时域方法：()()()txtPhtdτττ−∞=⋅−∫hh((tt--ττ))——单位脉冲反应，在单位脉冲反应，在tt==ττ时刻单位脉冲所引起的结构时刻单位脉冲所引起的结构自由振动反应。自由振动反应。（（DuhamelDuhamel积分）积分）PP((ττ))——在在tt==ττ时刻的荷载强度。时刻的荷载强度。δ(t)tΔt脉冲函数()()000,lim1,δττδττΔΔ→−=≠⎫⎪⎬−==⎪⎭∫tttttdtt当当P(t)t0Δττ25()()1jtXjtedtωωδ∞−−∞==∫这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅值、相位都相同。因此，在信号与系统分析中具有非常重要的意义。0()tδt()tδ()tδ()Xjωω01单位脉冲函数的付立叶变换单位脉冲函数的付立叶变换26„改变时间变量，令τ1=t-τ,则1110()()()()()txtPhtdPthdττττττ∞−∞=⋅−=−⋅∫∫„反应的数学期望可表示为：[][]1110()()()ExtEPthdτττ∞=−⋅∫当P(t)为平稳随机过程时，其均值与时间无关，通过积分后仍然与时间无关，即输入是平稳的，输出也是平稳的[][]()()()ExtEPthdττ∞=∫0()()()=∗xtPtht27„反应的自相关函数可表示为：()[][]12121122121200,()()()()()()xRttExtxtEPtPthhddττττττ∞∞=⋅=−⋅−⋅∫∫1122121200(,)()()PRtthhddττττττ∞∞=−−⋅∫∫当P(t)为平稳随机过程时，其自相关函数与时间无关，但与时差有关()()()12121200()xPRRhhddττττττττ∞∞=+−∫∫828频域方法：将荷载展成多个简谐分量，叠加各简谐将荷载展成多个简谐分量，叠加各简谐反应，即可获得总反应。反应，即可获得总反应。()()0()sinDnxtPtkωφ=−⋅„已知单自由度体系在简谐激励下的反应为()()()/xtftDnk=⋅⎡⎤⎣⎦更一般性的()()sinftAtωφ=+更一般性的29„频响函数（FrequencyResponseFunction）()2112Hikiωβξβ=⎡⎤−+⎣⎦1ωβω=()()()21ωωωωω==−+XHFkmic单自由度系统运动方程单自由度系统运动方程::()++=mxcxkxft两端作傅立叶变换得到频域方程两端作傅立叶变换得到频域方程::()()()()2ωωωωωω−++=mXicXkXF30★频响函数与脉冲函数的关系()()iHihedωτωττ∞−−∞=∫()()12ihHiedωττωωπ∞−∞=∫互为傅立叶变换()()()222221()()12HiHiHikωωωβξβ=−=⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦„频响函数的模()()()=∗xtftht卷积定理()()()ωωω=iXFH31„当f(t)中包含多个谐波分量时，可表示为()01cossin2mmmaftatbtmmωω∞==++∑„引入Euler公式cossinitetitωωω±=±可得傅立叶级数的复数表达形式为：()mmitmftceω∞=−∞=∑1()()2ωωωπ∞−∞=∫itftcied谐干扰932„„基于频域方法的结构总反应可表示为：基于频域方法的结构总反应可表示为：(1()()2)itHixtciedωωωωπ∞−∞=⋅⋅∫★平均反应:[][]0()()ττ∞=∫ExtEFhd[]()exp(0)ττ∞=∫EFhd0[][]()(0)=⋅ExtEFH随机振动系统输入荷载输出响应33()()()121212()PxRhhddRττττττττ∞∞−∞−∞=+−∫∫()()12xixSedRωτωττπ∞−−∞=∫()()()()12121212ixPSRhhedddωτωττττττττπ∞∞∞−−∞−∞−∞=+−∫∫∫★响应谱密度利用Weiner-Khinchin关系式，求结构响应谱34()()()()12121212ixPSRhhedddωτωττττττττπ∞∞∞−−∞−∞−∞=+−∫∫∫()()()312()312123121()2iPRhhedddωτττττττττττπ∞∞∞−−+−∞−∞−∞=−+∫∫∫()()()13222313112iPiiRhededehdωττωτωττττττπ∞∞∞−−∞−∞−∞−=⋅⋅∫∫∫()()()()xPSHiHiSωωωω=−引入变量更换引入变量更换312ττττ=+−改变积分次序改变积分次序★响应谱密度:()2()()xPSHiSωωω=352200()()()xxPSdHiSdσωωωωω∞∞==⋅∫∫★均方响应„随机激励为白噪声时:白噪声：()()2200022220()12xSHiddSkσωωωβξβ∞∞==⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦∫∫0()PSSω=SP(ω)S0ω10Sx(ω)02Sk20128xSkωσξ=ω101/k2|H(iω)|21/4ξ2k21036★多自由度体系的随机风振响应分析输入荷载谱位移响应谱位移均方差坐标变换自谱积分模态力谱频响函数（（11）利用振型分解法，进行坐标变换）利用振型分解法，进行坐标变换（（22）计算模态力谱）计算模态力谱（（33）计算模态响应谱）计算模态响应谱（（44）计算系统响应谱）计算系统响应谱（（55）计算位移响应均方根）计算位移响应均方根37{}{}{}{}[]()[]()[]()()MxtCxtKxtPt++={}{}()[]()xtqt=Φ（1）利用振型分解法，进行坐标变换多自由度体系的运动方程：振型分解：1()()niijjjxtqtφ==⋅∑mmiixxii((tt))φφii11==qq11((tt))××Mode1++qq22((tt))××φφii22Mode2++qq33((tt))××φφii33Mode3振型矩阵振型矩阵广义坐标广义坐标38{}{}{}{}****[]()[]()[]()()MqtCqtKqtPt++=将上述变换代入运动方程，得到广义坐标下的运动方程：广义质量：[][][]*TMM⎡⎤=ΦΦ⎣⎦[][][]*TCC⎡⎤=ΦΦ⎣⎦[][][]*TKK⎡⎤=