中考数学专题复习与圆有关的计算

2019年中考数学专题复习与圆有关的计算命题点1扇形弧长、面积的计算1．(2013·河北T14·3分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝23.则S阴影＝(D)A．πB．2πC.233D.23π2．(2014·河北T19·3分)如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形＝4cm2.命题点2正多边形与圆3．(2014·河北T15·3分)如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S阴影S空白＝(C)A．3B．4C．5D．6重难点1弧长的计算如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．(1)图中已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH；(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是2πa3；第5段弧的长是10πa3；前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是10πa；(3)类似地有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”…，边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是15πa2；(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是30πan；②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是m（m＋1）πan．【思路点拨】(1)以点B为圆心，BG长为半径画弧即可；(2)利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断地增大，第1段弧的半径是a，第2段弧的半径是2a，第3段弧的半径是3a，依此下去第5段弧的半径是5a，总和就是把五段弧长加起来；(3)先利用正方形的性质求出正方形的外角度数，结合每段弧所在圆的半径变化规律，利用弧长公式计算每段弧长，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，结合正n边形的性质解决．【变式训练1】(2018·淄博)如图，⊙O的直径AB＝6.若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为(D)A．2πB.8π3C.3π4D.4π3【变式训练2】(2018·廊坊模拟)如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是6π．(结果保留π)方法指导1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可．2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长．模型建立边长为a的正n边形的渐开线第m段弧长为2π×man.重难点2扇形面积的有关计算如图1，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，此时点B到达点B′，求圆中阴影部分的面积．图1图2图3【变式1】(2018·大庆)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为23π．【变式2】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是13π．【变式3】如图4，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是6π．图4图5【变式4】如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转60°，此时点B恰好在DE上，其中点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是π2－34．(注：所有小题结果保留π)【思路点拨】阴影部分的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角，AB为半径的扇形面积；只有变式4阴影部分的面积是S扇形ACD－S△BCE.【自主解答】解：∵AB＝AB′＝6，∠BAB′＝60°，∴S阴影＝S扇形B′AB＋S半圆O′－S半圆O＝S扇形B′AB＝60360×π×62＝6π.方法指导在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：(1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积；(2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积；(3)可以利用等积变换求阴影部分的面积；(4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．重难点3正多边形和圆(2017·河北模拟)如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形．若阴影部分的周长为10，则这个图形的外轮廓线的周长为(A)A．18B．183C．22D．223【思路点拨】从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的2倍．提示：设正六边形的边长为a，则正方形的边长为2a，由题意，得5a＝10，解得a＝2.则外轮廓线的周长为3a＋2a×3＝9a＝18.【变式训练3】(2017·河北模拟)如图，正六边形与正方形有重合的中心O.若∠BOC是正n边形的一个外角，则n的值为(C)A．8B．10C．12D．16【变式训练4】(2018·石家庄二模)正六边形ABCDEF与正三角形△ACG按如图所示位置摆放，在六边形AGCDEF中，S阴影S空白的值是(D)A.25B.15C.16D.17方法指导1．熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系．2．正n边形的中心角与每一个外角相等，都等于360°n(n≥3)．3．研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法．注：正多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形．1．(2018·盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB︵)，则AB︵的展直长度为(B)A．3πmB．6πmC．9πmD．12πm2．(2018·成都)如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C)A．πB．2πC．3πD．6π3．(2018·德州)如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)A.π2m2B.32πm2C．πm2D．2πm24．(2018·河北模拟)如图，分别把正六边形边AB，EF，CD向两个方向延长，相交于点M，N，Q，则阴影部分与空白部分的面积比为(A)A.12B.13C.25D.145．(2018·河北模拟)如图，六边形ABCDEF和六边形MNPQGH都是正六边形．若AB＝10，则MN的值可能是(D)A.532B．5C．52D．536．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．7．(2018·石家庄藁城区模拟)如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边AB，AE的中点，四边形MNHG是位于该正五边形内的正方形，则∠BMH的度数是99°．8．(2018·盐城)如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分，图2中图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.则图2的图形周长为8π3cm(结果保留π)．9．(2018·河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B的运动路径为BB′︵，则图中阴影部分的面积为54π－32．10．(2018·邢台宁晋县模拟)如图，半圆O的直径AB＝4，P，Q是半圆O上的点，弦PQ的长为2，则AP︵与QB︵的长度之和为(B)A.23πB.43πC.53πD．π提示：连接OP，OQ，易知△OPQ为等边三角形，lAP︵＋lQB︵＝120180×π×2＝43π.11．(2018·威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，则图中阴影部分的面积是(C)A．18＋36πB．24＋18πC．18＋18πD．12＋18π提示：作FH⊥BC交BC延长线于点H，连接AE，S阴影＝S正方形ABCD＋S半圆－S△ABE－S△AEF＝12×12＋12×π×62－12×12×6－12×65×65＝18＋18π.12．(2018·河北模拟)如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若PD＝163cm，AC＝8cm，则图中阴影部分的面积为25π－482cm2；(3)在(2)的条件下，若点E是AB︵的中点，连接CE，求CE的长．解：(1)证明：连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°.∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB.∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠AOP＝∠COP.在△PAO和△PCO中，OA＝OC，∠AOP＝∠COP，OP＝OP，∴△PAO≌△PCO(SAS)．∴∠PAO＝∠PCO＝90°.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．(3)连接AE，BE，过点B作BM⊥CE于点M，∴∠CMB＝∠EMB＝90°，∠AEB＝90°.又∵点E是AB︵的中点，∴AE︵＝BE︵.∴∠ECB＝∠ACE＝12∠ACB＝45°.又∵∠CMB＝90°，∴∠CBM＝45°.∴BM＝CM.在Rt△BCM中，由勾股定理，得CM2＋BM2＝BC2，即CM2＋BM2＝36，∴CM＝BM＝32cm.又∵∠ABE＝∠ACE＝45°，∴在Rt△AEB中，BE＝AB·cos∠ABE＝52cm.在Rt△BEM中，由勾股定理，得EM＝BE2－BM2＝（52）2－（32）2＝42(cm)，∴CE＝CM＋EM＝72cm，即CE的长为72cm.