1.4.2必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)

高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫教学设计第1页共9页§1.4.2正弦函数余弦函数的性质一、教材内容与解析（一）内容：正弦函数、余弦函数的性质（二）解析：《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中第四节的内容，对于函数性质的研究,本节课是在高一必修1中已经研究了指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质以及正弦函数、余弦函数的图象的知识后，对其周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性等性质的再学习.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。是今后研究正切函数的图象与性质、正弦型函数)sin(xAy的图象的知识基础和方法准备.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用。本节课首先让学生回顾正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图象、观察图象入手,由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.。本节课的重点是正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值，研究函数的思想方法.解决问题的关键是教师在教学中注重培养学生运用函数图象分析问题、探究问题的能力、经历三角函数性质的探讨过程，让体会数形结合思想在探讨三角函数性质方面的应用，感受研究函数性质的一般思路与方法.培养学生的数学应用意识.本课计划用4节课进行学习，其中正课3节，作业及讲评1节.二、教学目标及解析目标：1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性，体会数形结合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。解析：1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想，能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。三、问题诊断分析本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间？不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间？学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质，对函数的周期性、单调高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫教学设计第2页共9页性理解不透彻。学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解；结合定义，通过例题加以模仿。在此过程中，需要学生感受归纳的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有利于展示函数的图像，能够给学生直观的认识。五、教学过程1、自学问题1：周期函数的概念是什么？问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的概念是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，培养学生的归纳能力。师生活动：学生思考并回答，教师指导。小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点。小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫教学设计第3页共9页论依据是什么？sin(2)sin()xkxkZ小问题5：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由inxkxs2sinπ）（知:知:正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数)(xf,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有)()(xfTxf,那么函数)(xf就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.小问题6：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？由图可知,)0,(2,,4,2,,4,2kZkk都是这两个函数的周期.小问题7：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么,正弦函数的最小正周期是多少？为什么？根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,0,2kZkk都是它的周期,最小正周期是2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由xkxcos)2cos(π知:正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例1求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(2x-6),x∈R.(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.(2)教师引导学生观察2x,可把2x看成一个新的变量u,那么cosu的最小正周期是2π,就是说,当u增加到u+2π时,函数cosu的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫教学设计第4页共9页(3)因为2sin［21(x+4π)-6］=2sin［(2x-6)+2π］=2sin(2x-6).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π;(2)周期为π;(3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，培养学生的归纳能力。师生活动：学生思考并回答，教师指导。小问题1：观察正、余弦函数的图象，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？正弦函数图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y轴对称.小问题2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？由诱导公式xxsin)(sin,xxcos)(cos可知:正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.小问题3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫教学设计第5页共9页从]2,2[,sinxxy的图象上可看出:当]2,2[x时,曲线逐渐上升,xsin的值由1增大到1当]2,2[x时,曲线逐渐下降,xsin的值由1减小到1结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间)](22,22[Zkkk上都是增函数,其值从1增大到1;在每一个闭区间)](22,22[Zkkk上都是减函数,其值从1减小到1.小问题4：正弦函数在每一个开区间（2kπ，2π＋2kπ）(k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？小问题5：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Zkkk上都是增函数,其值从1增加到1;余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Zkkk上都是减函数,其值从1减小到1.问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，从图像上归纳出函数的性质，培养学生的归纳能力。师生活动：学生思考并回答，教师指导。小问题1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？小问题2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？小问题3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？小问题4：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？正弦函数sin()yxxR的对称中心是,0kkZ,对称轴是直线2xkkZ;小问题5：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？余弦函数cos()yxxR的对称中心是,02kkZ,对称轴是直线xkkZ(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点).例2、下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函数y=cosx,x∈R取得最高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫教学设计第6页共9页大值的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z};使函数y=cosx+1,x∈R取得最小值的x的集合,就是使函数y=cosx,x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z}.函数y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z=2x,使函数y=-3sinZ,Z∈R取得最大值的Z的集合是{Z|Z=-2+2kπ,k∈Z},由2x=Z=-2+2kπ,得x=-4+kπ.因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=-4+kπ,k∈Z}.同理,使函数y=-3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=4+kπ,k∈Z}.函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.变式2、P40练习第3题.例3、函数的单调性,比较下列各组数的大小:(1)sin(-18)与sin(-10);(2)cos(523)与cos(417).解:(1)因为210180,正弦函数y=sinx在区间[2,0]上是增函数,所以sin(18)sin(10).(2)cos(523)=cos523=cos53,cos(417)=cos417=cos4.因为0453π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以cos4cos53,即cos(523)cos(417).变式3、(1)cos815cos914;(2)sin(754)sin(863).例4、函数y=sin(21x+3),x∈[-2π,2π]的单调递增区间.解:令Z=21x+3.函数y=sinZ的单调递增区间是［2+2kπ,2+2kπ］.由-2+2kπ≤21x+3≤2+2kπ,得35+4kπ≤x≤3+4kπ,k∈Z.高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫教学设计第7页共9页由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35+4kπ且3+4kπ≤2π,于是121≤k≤125,由于k∈Z,所以k=0,即35≤x≤3,而［35,3-2π,2π］,因此,函数y=sin(2x+3),x∈[-2π,