第十五节用导数解决生活中的优化问题

高考总复习•数学（文科）第十五节用导数解决生活中的优化问题第二章高考总复习•数学（文科）【例1】某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．利润最大问题自主解答：高考总复习•数学（文科）解析：(1)∵y＝4000··x－2000·x＝3600x－x3，∴所求的函数关系式是y＝－x3＋3600x(x∈N*，1≤x≤40)．(2)由(1)知y′＝3600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.∴当1≤x＜30时，y′＞0；当30＜x≤40时，y′＜0.∴函数y＝－x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数．高考总复习•数学（文科）∴当x＝30时，函数y＝－x3＋3600x(x∈N*，1≤x≤40)取得最大值，最大值为－×303＋3600×30＝72000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72000元．点评：(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，并根据实际意义确定定义域；高考总复习•数学（文科）②求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；④还原到实际问题中作答．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.高考总复习•数学（文科）1．某公司生产一种产品，每生产1千件需投入成本81万元，每千件的销售收入R(x)(单位：万元)与年产量x(单位：千件)满足关系：R(x)＝－x2＋324(0x≤10)．该公司为了在生产中获得最大利润(年利润＝年销售收入－年总成本)，则年产量应为()A．5千件B．6千件C．9千件D．10千件变式探究高考总复习•数学（文科）解析：依题意，年利润y＝x(－x2＋324)－81x＝－x3＋243x(0x≤10)，求导得y′＝－3x2＋243，令y′＝0，得x＝9(舍去负值)，因为0x9时，y′0，x9时，y′0，所以当x＝9时，y有最大值．故选C.答案：C高考总复习•数学（文科）【例2】(2013·佛山、江门二模)某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f(x)与时间x(小时)的关系可近似地表示为：f(x)＝只有当污染河道水中碱的浓度不低于时，才能对污染产生有效的抑制作用．与分段函数有关的优化问题31高考总复习•数学（文科）(1)如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？(2)第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到时，马上再投放1个单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为g(x)，求g(x)的函数式及水中碱浓度的最大值．(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加)自主解答：高考总复习•数学（文科）解析：(1)由题意知解得1≤x＜3或3≤x≤4，即1≤x≤4，能够维持有效的抑制作用的时间：4－1＝3小时．(2)由(1)知，x＝4时第二次投入1单位固体碱，显然g(x)的定义域为4≤x≤10，当4≤x≤6时，第一次投放1单位固体碱还有残留，高考总复习•数学（文科）故g(x)＝；当6＜x≤10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，故当6＜x≤7时，g(x)＝2－；当7＜x≤10时，g(x)＝1－；所以g(x)＝高考总复习•数学（文科）当4≤x≤6时，g(x)＝；当且仅当时取“＝”，即x＝1＋，当6＜x≤10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当6＜x≤7时，g′(x)＝＞0，所以g(x)为增函数；当7＜x≤10时，g(x)为减函数；故g(x)max＝g(7)＝，又＞0，所以当x＝1＋3时，水中碱浓度的最大值为.高考总复习•数学（文科）变式探究2．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是________件．高考总复习•数学（文科）解析：由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝而P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大．答案：300高考总复习•数学（文科）用料最省问题【例3】甲、乙两家工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？思路点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系．高考总复习•数学（文科）解析：(法一)根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总水管费用最省，如图，设点C距点D为x千米，则BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝.又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50)．y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30.在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义知，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(千米)，高考总复习•数学（文科）∴供水站建在A，D之间距甲厂20千米处，可使水管费用最省．(法二)如图，设∠BCD＝θ，则BC＝，CD＝，AC＝50－.设总的水管费用为f(θ)，依题意有f(θ)＝＝150a＋40a∴f′(θ)＝40a·高考总复习•数学（文科）＝40a·，令f′(θ)＝0，得cosθ＝.根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，此时sinθ＝，∴tanθ＝.∴AC＝50－＝20(千米)，即供水站建在A，D之间距甲厂20千米处，可使水管费用最省．高考总复习•数学（文科）变式探究3．如图，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y＝－x2＋2，x∈[－2，2]的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值．解析：设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为(t，－t2＋2)(0＜t≤2)．由题意得，点Q的坐标为(0,2)，直线BC的方程为y＝2.因为y＝－x2＋2，所以y′＝－x，高考总复习•数学（文科）所以切线AB的斜率k＝y′|x＝t＝－t，所以切线AB的方程为y－(－t2＋2)＝－t(x－t)，即：y＝－tx＋t2＋2，令y＝0得：x＝，所以A；令y＝2得：x＝t，所以B；所以S＝×2×2＝2；令f(t)＝t＋，则f′(t)＝1－，令f′(t)＝0，得t＝(舍去t＝－)，高考总复习•数学（文科）因为t∈(0，)时，f′(t)＜0，t∈(，2)时，f′(t)＞0，所以f(t)有极小值为f()＝2，该极小值也是最小值．所以t＝时，S有最小值为4.梯形ABCD的面积的最小值为4.高考总复习•数学（文科）容积(体积)有关的优化问题【例4】用长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积？解析：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为：[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝3.2－2x，由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x·(x＋0.5)·(3.2－2x)(0＜x＜1.6)整理得：y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，高考总复习•数学（文科）所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－(不合题意舍去)，从而，在定义域(0,1.6)内只有在x＝1处使y′＝0，由题意，若x过小(接近0)或过大(接近1.6)时，y值很小(接近0)，因此，当x＝1时，y取得最大值，ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时，高为3.2－2×1＝1.2.高考总复习•数学（文科）变式探究4．(2012·深圳高级中学期末)在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是()高考总复习•数学（文科）解析：设圆柱的高为h，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积为V＝π(R2－h2)h＝－πh3＋πR2h(0hR)，V′＝－3πh2＋πR2，令V′＝0，得h＝，此时V有最大值为V＝πR3.故选A.答案：A