高中数学竞赛讲义_免费_

高中学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全高中数学联赛一试所的知识范围超教育部2000全日制普通高中学数学教学大中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求有所提高全国高中数学联赛加试全高中数学联赛加试试数学奥林克接轨，在知识方面有所扩展适增加一些教学大之外的内容，所增加的内容是1.平面几何几个要定理梅涅劳斯定理塞瓦定理托勒密定理西姆定理角形中的几个特殊点旁心费马点，欧拉线几何等式几何极值题几何中的换对移旋圆的幂和根轴面方法，复数方法，向方法，解析几何方法2.代数周期函数，带绝对值的函数角式，角恒等式，角方程，角等式，角函数递，递数列性质，一阶阶线性常系数递数列的通式第数学法均值等式，柯西等式，排序等式，比雪等式，一元函数复数指数形式角形式，欧拉式，棣莫弗定理，单位根多式的除法定理因式解定理，多式的相等，整系数多式的有理根*，多式的插值式*n次多式根的个数，根系数的关系，实系数多式虚根成对定理函数迭，简单的函数方程*3.初等数论余，欧几得除法，裴蜀定理，完全剩余类，次剩余，定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点性质，无递降法，欧拉定理*，子定理*4.组合问题圆排列，有复元素的排列组合，组合恒等式组合计数，组合几何抽屉原理容斥原理极端原理论题集合的划覆盖面集包用*注有*号的内容加试中暂考，但在冬营中可能考二、初中数学竞赛大纲1数整数进位制表示法，整除性判定素数和合数，最大数最小倍数奇数和偶数，奇偶性析带余除法和利用余数类完全方数因数解的表示法，数个数的计算有理数的概念表示法，无理数，实数，有理数和实数四则算的封性2数式综合除法余式定理因式解拆添配方定系数法对式和换对式整式根式的恒等形恒等式的证明3方程和等式含母系数的一元一次方程一元次方程的解法，一元次方程根的布含绝对值的一元一次方程一元次方程的解法含母系数的一元一次等式的解法，一元次等式的解法含绝对值的一元一次等式简单的多元方程组简单的定方程组4函数次函数在给定间的最值，简单函数的最值含母系数的次函数5几何角形中的边角之间的等关系面等换角形中的边角之间的等关系面等换角形的心内心外心垂心心性质相似形的概念和性质圆，四点共圆，圆幂定理四种命题关系6逻推理题抽屉原理简单用简单的组合题简单的逻推理题，证法极端原理的简单用枚举法简单用三、高中数学竞赛基础知识第一章集合简易逻一础知识定1一般地，一组确定的互异的无序的对象的全体构成集合，简集，用大写母来表示集合中的各个对象元素，用小写母来表示，元素x在集合A中，x属于A，记Ax∈，否则x属于A，记作Ax∉例如，通常用N，Z，Q，B，Q+别表示自然数集整数集有理数集实数集有理数集，含任何元素的集合空集，用∅来表示集合有限集和无限集种集合的表示方法有列举法将集合中的元素一一列举来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}述法将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法例如{有理数}，}0{xx别表示有理数集和实数集定2子集对于个集合AB，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A做B的子集，记BA⊆，例如ZN⊆规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则AB相等如果A是B的子集，而且B中在元素属于A，则AB的真子集定3交集，}.{BxAxxBA∈∈=且I定4并集，}.{BxAxxBA∈∈=或U定5补集，若},{,1AxIxxACIA∉∈=⊆且则A在I中的补集定6差集，},{\BxAxxBA∉∈=且定7集合},,{baRxbxax∈记作开间),(ba，集合},,{baRxbxax∈≤≤记作间],[ba，R记作).,(+∞−∞定理1集合的性质对任意集合A，B，C，有1);()()(CABACBAIUIUI=2)()()(CABACBAUIUIU=3);(111BACBCACIU=4).(111BACBCACUI=证明仅证13，余读者自完成1若)(CBAxUI∈，则Ax∈，且Bx∈或Cx∈，所)(BAxI∈或)(CAxI∈，)()(CABAxIUI∈之，)()(CABAxIUI∈，则)(BAxI∈或)(CAxI∈，Ax∈且Bx∈或Cx∈，Ax∈且)(CBxU∈，).(CBAxUI∈3若BCACx11U∈，则ACx1∈或BCx1∈，所Ax∉或Bx∉，所)(BAxI∉，Ix∈，所)(1BACxI∈，)(111BACBCACIU⊆，之也有.)(111BCACBACUI⊆定理2加法原理做一有n类办法，第一类办法中有1m种的方法，第类办法中有2m种的方法，…，第n类办法中有nm种的方法，那完成一共有nmmmN+++=L21种的方法定理3法原理做一n个骤，第一有1m种的方法，第有2m种的方法，…，第n有nm种的方法，那完成一共有nmmmN⋅⋅⋅=L21种的方法方法例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合例1设},,{22ZyxyxaaM∈−==，求证1)(,12ZkMk∈∈−2)(,24ZkMk∈∈−3若MqMp∈∈,，则.Mpq∈[证明]1因Zkk∈−1,，且22)1(12−−=−kkk，所.12Mk∈−2假设)(24ZkMk∈∈−，则在Zyx∈,，使2224yxk−=−，于yx−和yx+有相的奇偶性，所))((22yxyxyx+−=−是奇数或4的倍数，可能等于24−k，假设成立，所.24Mk∉−3设Zbayxbaqyxp∈−=−=,,,,,2222，则))((2222bayxpq−−=22222222aybxbyaa−−+=Myaxbybxa∈−−−=22)()(因ZyaxbZyaxa∈−∈−,2．利用子集的定证明集合相等，先证BA⊆，再证AB⊆，则A=B例2设A，B是个集合，设集合M满足BAMBABAMBMAUUUIII===,，求集合M用A，B表示解先证MBA⊆)(I，若)(BAxI∈，因BAMAII=，所MxMAx∈∈,I，所MBA⊆)(I再证)(BAMI⊆，若Mx∈，则.BAMBAxUUU=∈1若Ax∈，则BAMAxII=∈2若Bx∈，则BAMBxII=∈所).(BAMI⊆综，.BAMI=3．类讨论思想的用例3}02{},01{},023{222=+−==−+−==+−=mxxxCaaxxxBxxxA，若CCAABA==IU,，求.,ma解依题设，}2,1{=A，再012=−+−aaxx解得1−=ax或1=x，因ABA=U，所AB⊆，所Aa∈−1，所11=−a或2，所2=a或3因CCA=I，所AC⊆，若∅=C，则082−=∆m，2222−m，若∅≠C，则C∈1或C∈2，解得.3=m综所述，2=a或3=a3=m或2222−m4．计数原理的用例4集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，1若IBA=U，求有序集合对A，B的个数2求I的非空真子集的个数解1集合I可划个相交的子集A\B，B\A，IBA,I中的个元素恰属于中一个子集，10个元素共有310种可能，一种可能确定一个满足条的集合对，所集合对有310个2I的子集类空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集十，第一，1或者属于子集或者属于，有种第，2也有种，…，第10，0也有种，法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个5．配对方法例5给定集合},,3,2,1{nIL=的k个子集kAAA,,,21L，满足任何个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个他子集将再有性质，求k的值解将I的子集作如配对个子集和它的补集一对，共得12−n对，一对能在k个子集中，因，12−≤nk次，一对中必有一个在k个子集中，否则，若有一对子集未，设C1AA，并设∅=1AAI，则ACA11⊆，而可在k个子集中再添加AC1，知矛盾，所12−≥nk综，12−=nk6．竞赛常用方法例题定理4容斥原理用A表示集合A的元素个数，则,BABABAIU−+=CBACBCABACBACBAIIIIIUU+−−−++=，需要xy结论可推广到n个集合的情况，∑∑∑∑=≠≤≤=+−=nikjijinkjijiiniiAAAAAAA111IIIU.)1(11ILniinA=−−+−定8集合的划若IAAAn=ULUU21，且),,1(jinjiAAji≠≤≤∅=I，则些子集的全集I的一个n-划定理5最小数原理自然数集的任何非空子集必有最小数定理6抽屉原理将1+mn个元素放入)1(nn个抽屉，必有一个抽屉放有少于1+m个元素，也必有一个抽屉放有多于m个元素将无多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无多个元素例6求1，2，3，…，100中能被2，3，5整除的数的个数解记}22,1001{},100,,3,2,1{xxxxAI记整除能被且≤≤==L，}5,1001{},3,1001{xxxCxxxB≤≤=≤≤=，容斥原理，++=+−−−++=31002100CBAACCBBACBACBAIIIIIUU7430100151001010061005100=+−−−，所能被2，3，5整除的数有26=−CBAIUU个例7S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意个数的差等于4或7，S中最多含有多少个元素？解将任意连续的11个整数排成一圈如右所示题目条可知相邻个数多有一个属于S，将11个数按连续个一组，成6组，中一组有一个数，若S含有11个数中少6个，则必有个数在一组，知矛盾，所S多含有中5个数因2004=182×11+2，所S一共多含有182×5+2=912个元素，一方面，},2004,10,7,4,2,1,11{NkrttkrrS∈≤=+==时，恰有912=S，且S满足题目条，所最少含有912个元素例8求所有自然数)2(≥nn，使得在实数naaa,,,21L满足}.2)1(,,2,1{}1}{−=≤≤−nnnjiaajiL解2=n时，1,021==aa3=n时，3,1,0321===aaa4=n时，1,5,2,04321====aaaa证5≥n时，在naaa,,,21L满足条naaa=L210，则.2)1(−=nnan所必在某个标ji，使得1−=−njiaaa，所1111−−=−=−nnnaaaa或21aaann−=−，12=a，所1,2)1(1−=−=−nnnaanna或2)1(−=nnan，12=a若1,2)1(1−=−=−nnnaanna，考虑2−na，有22−=−nnaa或22aaann−=−，22=a，设22−=−nnaa，则121−−−−=−nnnnaaaa，矛盾，故有.22=a考虑3−na，有23−=−nnaa或33aaann−=−，33=a，设23−=−nnaa，则02212aaaann−==−−−，推矛盾，设33=a，则2311aaaann−==−−，推矛盾，所4,22==−naan故5≥n时，在满足条的实数若1,2)1(2=−=annan，考虑2−na，有12−=−nnaa或32aaann−=−，23=a，时1223aaaa−=−，推矛盾，故21−=−nnaa考虑3−na，有23−=−nnaa或−=−nnaa33a，3a=3，于是123−−=−nnaaaa，矛盾因32−=−nnaa，所12211aaaann−==−−−，矛盾，所有22aan=−，所4=n故5≥n时，在满足条的实数例9设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取个数，B中取个数组成五个元素的集合iA，.201,2,20,,2,1≤≤≤=jiAAijiIL求n的最小值解.16min=n设B中个数在所有iA中最多复k次，则必有4≤k若然，数mk次4k，则.123k在m的所有iA中，少有一个A中的数3次，妨设它是1，就有集合{1，121,,,bmaa}},,,,1{},,,,,1{365243bmaabmaa，中61,≤≤∈iAai，满足题意的集合ia必各相，但能是2，3，4，5，65个数，可能，所.4≤k20个iA中，B中的数有40个，因少是10个的，所16≥n16=n时，如20个集合满足要求{1，2，3