高中数学第二章2-2-1圆的方程(一)配套课件苏教版必修

2．2.1圆的方程第一课时【学习要求】1．了解推导圆的方程的思想方法．2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径．3．能根据所给条件，求出圆的半径和圆心坐标，从而求出圆的标准方程．【学法指导】通过运用圆的定义及两点间的距离公式，探究出圆的标准方程；通过应用圆的标准方程解决实际问题，培养观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力.填一填·知识要点、记下疑难点1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)是以点为圆心，为半径的圆的方程，叫做圆的．当圆心为原点(0,0)时，圆的方程则为.2．点和圆的位置关系：点和圆的位置关系有3种，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)：(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(a，b)r标准方程x2＋y2＝r2＝研一研·问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题．研一研·问题探究、课堂更高效探究点一圆的标准方程问题1在初中圆是如何定义的？答平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点就是圆心，定长就是半径．研一研·问题探究、课堂更高效问题2如何求以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程？答设P(x，y)是圆上的任意一点，依据圆的定义，则有OP＝r，将点P的坐标代入，得x－02＋y－02＝r.化简，得x2＋y2＝r2.这就是所求圆的方程．研一研·问题探究、课堂更高效问题3设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆的方程又是什么？答因MA＝r，由两点间的距离公式，得x－a2＋y－b2＝r,化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.研一研·问题探究、课堂更高效问题4如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2就是圆心坐标为A(a，b)，半径为r的圆的方程？答若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，这就说明点M与圆心A的距离为r，即点M在圆心为A的圆上．小结方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)叫做以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程．研一研·问题探究、课堂更高效问题5点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？答(1)(x0－a)2＋(y0－b)2r2，点在圆外；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2r2，点在圆内．研一研·问题探究、课堂更高效探究点二圆的标准方程的应用问题从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？答在圆的标准方程中，含有三个参数分别是a，b，r，因此求圆的标准方程需要三个已知条件．研一研·问题探究、课堂更高效例1求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程．解因为圆C经过坐标原点，所以圆C的半径是r＝22＋－32＝13.因此，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.小结求圆的标准方程就是将已知条件与圆心坐标及圆半径建立联系，从而求出圆心坐标及圆半径．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且这个圆经过点A(6,1)，求该圆的标准方程．解因圆与y轴相切，则可设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2，又圆心在直线x－3y＝0上，∴a＝3b.又点A(6,1)在圆上，∴(3b－6)2＋(b－1)2＝9b2，解得b＝1或b＝37，∴a＝3或a＝111.故该圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.研一研·问题探究、课堂更高效例2△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)．求它的外接圆的方程．解设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是5－a2＋1－b2＝r27－a2＋－3－b2＝r22－a2＋－8－b2＝r2，解方程组得a＝2b＝－3r2＝25.所以，△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.研一研·问题探究、课堂更高效小结用待定系数法求圆的标准方程，即先设出圆的标准方程，把已知条件代入方程，得到关于a，b，r的三个方程组成的方程组，解方程组求出a，b，r，再将a，b，r的值代入标准方程．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．解要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是PA、PB、PC中的中间值．由于PA＝10，PB＝13，PC＝25.即PA＜PB＜PC.所以圆的半径r＝PB＝13.故所求的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.研一研·问题探究、课堂更高效例3已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m，高为3.5m的货车能不能驶入这个隧道？解如右图，以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝3代入得y＝16－32＝79＝33.5，即在离中心线3m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，该货车不能驶入这个隧道．研一研·问题探究、课堂更高效小结本题是用解析法解决实际问题．解析法解决实际问题的步骤为：建系、设点、列式、计算、总结．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽为多少米？解以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②研一研·问题探究、课堂更高效当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②得x0＝51，∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝251米．练一练·当堂检测、目标达成落实处1．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为___________________．解析将O(－3,4)，r＝5代入圆的标准方程可得．(x＋3)2＋(y－4)2＝25练一练·当堂检测、目标达成落实处2．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为__________________．解析设圆心为P(a，a)，而切点为A(1,0)，则PA⊥x轴，∴a＝1.故方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.(x－1)2＋(y－1)2＝1练一练·当堂检测、目标达成落实处3．圆的内接正方形相对的两个顶点为A(5,6)，C(3，－4)，求该圆的方程．解由题意可得AC为直径，所以AC的中点M为该圆的圆心即M(4,1)．又因为AC＝5－32＋6＋42＝4＋100＝226，∴r＝AC2＝26，∴圆的标准方程为：(x－4)2＋(y－1)2＝26.练一练·当堂检测、目标达成落实处1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝m.当m0时，表示圆心为C(a，b)，半径为m的圆；当m＝0时，表示一个点C(a，b)；当m0时，不表示任何图形．2．确定圆的方程的方法及步骤：(1)直接代入法：根据已知条件求得圆心坐标和半径，直接写出圆的标准方程．练一练·当堂检测、目标达成落实处(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；第二步：根据条件列方程组求得待定系数a，b，r；第三步：将求得的值代入所设的方程中去，得到所求圆的标准方程．3．在具体问题的求解过程中，应灵活运用圆的有关几何性质(如弦的垂直平分线过圆心；半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．