合分比定理

合比性质和等比性质田伟德教学目的：1、掌握合比和等比性质，并会用它们进行简单的比例变形；2、会将合比与等比性质用于比例线段；3、提高学生类比联想推广命题的能力。教学重点、难点：熟练并灵活运用合比、等比性质概念:【合比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。即：如果acbd，那么(0,0)abcdbdbd【分比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。即：如果acbd，那么(0,0)abcdbdbd【合分比定理】一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。这叫做比例中的合分比定理。即：如果acbd，那么(0,0,0,0)abcdbdabcdabcd【更比定理】一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例.即：如果acbd，那么(0,0,0)abbcdcd推论:如果312123123...(...0)nnnaaaabbbbbbbb那么12311231......nnaaaaabbbbb教学过程：一、用特殊化的方法探索合比性质1、复习平行线等分线段定理。如图（1），已知一组平行线在直线l上截得AB=BC=CD=DE=EF，则由平行线等分线段定理可以得到，在l/截得的各对应线段也相等，即A/B/=B/C/=C/D/=D/E/=E/F/。(a)图（1）(b)2、将上述结论改写成比例形式，可以猜想结论：从图（1a）中分解出图（1b），由一组平行线可得出23////FDDADFAD。观察DFDFAD与//////FDFDDA的关系？并对一般情况做出猜想：若有23////FDDADFAD，则有DFDFAD=//////FDFDDA=25。猜想：如果dcba，那么ddcbba。3、证明猜想，得出合比性质。（1）启发学生观察已知与未知的关系，寻找证明思路。证法一（设比法）设kdcba，则dkcbka,∵1,1kdddkddckbbbkbba∴ddcbba证法二（利用等式的性质）∵dcba，∴11dcba即ddcbba（2）类比联想，得到分比性质：如果dcba，那么ddcbba。让学生用以上两种证法中的一种证明。得合比性质：如果dcba，那么ddcbba。（3）理解合比性质的内容，会用语言叙述。4、类比联想，将合比性质进行推广。合比性质的表达式中：（1）比例式的第二、四比例项保持不变；（2）比的前、后项对应求和或差（作为新比例式的第一、三比例项）对此做出以下类比联想，并使用比例的性质进行证明。猜想一如果dcba，那么,cdcaba或dccbaa。ADCBEFA/B/C/D/E/F/lL/ADFA/D/F/lL/猜想二如果dcba，那么dkdcbkba，或dndmcbnbma。说明：对于推广后的问题，教师证明，教会学生解题的基本方法，基本思考方法主要有两种：（1）通过某种方法，将它化为利用原合比性质的结果。证明时，可让学生灵活使用以下变形的方法，将问题转化为合比性质。①同时交换比例的内项各外项（更比），如dcbaacbddbca,等②同时交换比的前项、后项（反比）如dcbacdab。如证明猜想一时反比dcbacdab合比ccdaab等式性质ddcaba反比dccbaa。（2）对原合比性质的证明方法进行类比联想来重新证明。可用“设比法”。另外还可以有猜想三如果dcba，那么bdbaca；猜想四如果dcba，那么ddbcca。让学生课后证明。二、利用合比性质来证明等比性质的特例，并进行推广。1、练习。利用更比、合比性质证明（强调用合比性质证明）如果dcba。求证：（1）ddbcca；（2）dcdbca。证明：dcbaddbccadbcadcdbca2、观察上述练习的结论，并对一般情况作出猜想，对练习1中相等的比值的个数进行推广。如果)0(ncdbnmdcba，那么bandbmca（或dc等等）3、利用“设比法”进行证明，得出等比性质，见课本205页。4、强调证明方法（设比法）：设几个相等的比的比值为k，表示出每一个比的前项（或后项），利用代数运算证明比例式，这种思想在比例的问题中经常用到。5、将合比性质进行推广：如果nmdcba，那么bansdsbsmscsaskk2121（或dc等等）。含义：只要相等的比中前项、后项的对应项的系数相同，就可以使用等比性质。证明方法：只需每个比的前项、后项乘以相应的系数即可。三、合比、等性质的简单应用例1填空：（1）已知38yyx，则yx，yxy；（2）已知)032,0(75fdbfdbfedcba，则fdbeca，fdbeca3232。（可直接用结论，也可简单讲解求解过程）（3）已知：643zyx，则yxyx，xzyx2423。说明：讲解过程中要写出解题过程，示范给学生看。四、小结在学生回忆基础上，师生共同小结：1、合比性质、等比性质及常用变形，尤其要请注意等比性质的使用条件；2、证明两个性质时所用到的“设比法”要记得；3、类比联想，推广命题，由特殊猜想一般，再进行证明的方法。五、作业：（1）已知32yx，求yxxy的值；（2）已知432zyx，求xzyzyx的值；（3）已知94fedcba，052fdb，求fdbeca5252的值。（要求写出解题过程）六、课后练习1、已知35aba，那么ab等于（）A25B52C25D522、若acbd，那么下列等式成立的是（）AabcdbdBacbdabCacbdcdDacbdad3、若:3ab，则abb=4、若:3:2ab，则aba5、若340(0)xyx，则xyx=6、如果52xyxy，那么xy等于7、已知457xyz，则2xyz8、若acebdf，则下列式子中正确的是（）AabecdfB111acebdfCaceacebdfbdfDabcdefbdf9、已知32acebdf,则22acebdf=10、若,,,347xyzxyz均不为0，则3xyzxyz的值是11、已知578abc，且329abc，则243abc的值是12、若,,abc分别是ABC的三边且有backacbcab，则k13、已知,,abc为非零实数，且满足bcabackacb，则一次函数(1)ykxk的图像一定经过象限。14、在ABC中，若5sinsinsin2abcABC,且3abc，则sinsinsinABC=15、在ABC中，若sinsinsinabcABC，证明：sinsinsinabABcC