研究有限差分格式稳定性的Fourier方法

第三节研究有限差分格式稳定性的Fourier方法3.1Fourier方法以一维对流方程为例：0,,0,0(1.1)(,0)(uuaxRtatxuxgxxR），110()(1.2)()nnnnjjjjjjjuuauuuggxh左偏差分格式：Fouriernjjug由于及只是在网格点上有意义，为了应用方法进行讨论，必须扩充这些函数的定义域，使它们在整个（，）上有定义。令：11(,)()()2211()()()22nnjjUxtujhxjhxgjhxjh(,),()nUxtxR即：为上的分段常数函数.11(,)(,)[(,)(,)]jnjnjnjnUxtUxtaUxtUxt在节点上：(,),()kUxtxR实际上函数在上满足1(,)(,)[(,)(,)]nnnnUxtUxtaUxtUxhtRx11(,)2ikxnUktedk等式两边分别用Fourier积分表示：由此可得:1(,)(1(1))(,)ikhnnUktaeUkt1(,)2ikxnUktedk()11{(,)(,)}22ikxikxhnnaUktedkUktedk1(,)[1(1)]2ikhikxnUktaeedk(())(())iksFfxseFfx1(,)(1(1))(,)ikhnnUktaeUkt1(1)ikhae称为增长因子（传播因子）.记为：(,)1(1)ikhGkae),(),(),(1nntkUkGtkU因此),()],([),(0tkUkGtkUnn实际上，我们就是用增长因子来判断稳定性的22||()|||(,)|dnnUtUxtx假设：KkGKn|)],([|,使得存在常数2|(,)|dnUktkParseval等式220|(,)|dKUktk由假设202||)(||tUK2022||)(||||)(||tUKtUnParseval等式的定义，得由),(ntxUhhnuKu||||||||0说明：增长因子的任意次幂有界保证了差分格式的稳定性，以上推导步步可逆，即由差分格式的稳定性可以得出增长因子的任意次幂是有界的。结论：差分格式（1.2）稳定的充分必要条件是：存在0000,,,KnTkR常数，使得时，有KkGn|)],([|如果对于线性方程组，或多层格式，离散的形式为差分方程组：1UC(,)U(1.3)nnjjjx利用Fourier积分得到n1nˆˆU(,)(,)U(,)ktGkkt0ˆˆU(,)[(,)]U(,)nnktGkkt为增长矩阵),(kG此时稳定性条件：KkGn||)],([||补充：值的最大值）是矩阵的谱半径（特征则定理：若(.).)(||||,2AAACAHnn注：所以对于增长矩阵通过矩阵的特征值来得到稳定性的条件，增长因子是特殊的增长矩阵。我们给出下面关于稳定性判别的结论3.2判别准则为常数。的特征值，表示其中有：，对所有，当稳定的必要条件是差分格式定理MkGkGMkGRkTn),()),((1|)),((|)3.1(:1.3jj0(*)注：条件(*)被称为VonNeumann条件，VonNeumann条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下，这个条件也是稳定性的充分条件。3.2:(,)VonNeumannGk定理如果差分格式的增长矩阵是正规矩阵，则条件是稳定性的必要且充分条件。充分必要条件。条件是差分格式稳定的矩阵时，矩阵，：当是实对称矩阵，酉推论NeumannVonHermite1充要条件。条件是差分格式稳定的只有一个元素，则时，当推论NeumannVon),(1;2kGp注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。3.3例子)(,积分的离散形式实际上是采用了析增长因子。直接代入差分方程，分取：FourierevuikjhnnjFourier方法在具体应用时，可以采取离散的形式，直接从差分方程入手。不必要扩充、Fourier积分的烦琐步骤。具体是：)(11njnjnjnjuuauu以左偏格式为例：)(11njnjnjnjuuauuikjhnnjevu令代入差分方程)()1(1hjiknikjhnikjhnikjhnevevaevev整理得：1(1(1))nikhnvaev增长因子为：(,)1(1)ikhGkae实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即1|)],([|kG(,)1(1)1(1cos)sinikhGkaeakhiakh222|(,)|(1(1cos))(sin)Gkakhakh214(1)sin2khaa1|),(|,1kGa则如果.1a定性条件是左偏格式是稳定的，稳222222(12sin)4sin(1sin)222khkhkhaa22,0(1.3)(,0)()(1.4)uuaxRttxuxgxxR111220,(1.14)nnnnnjjjjjuuuuuah例.考虑扩散方程的隐式格式的稳定性.解.先把差分格式变形为111(12)nnnnjjjjauauauu2=.h此处21(,).14sin2Gkkha得其增长因子为0,(,)1.aGk由于所以对任意的都有因此差分格式稳定。nnikjhikjhjuvee令，代入上面方程并消去公因子，111(12)nnnnjjjjauauauu22,0(1.3)(,0)()(1.4)uuaxRttxuxgxxR1111220,2nnnnnjjjjjuuuuuah例.考虑扩散方程的Richardson格式的稳定性.这是一个三层格式,一般先化为等价的二层差分方程组.解.先把差分格式变形为11112(2)nnnnnjjjjjuuauuu2=.h此处11112(2)nnnnnjjjjjnnjjuvauuuvu[,],nnnTjjjUuv令则上述方程组可写为11112(2)nnnnnjjjjjnnjjuvauuuvu111204120001000nnnnjjjjaaaUUUU,nnikjhikjhjUVee设代入上式并消去公因子，可得218sin1210nnkhaVV增长矩阵为28sin1(,)210khaGk增长矩阵为28sin1(,)210khaGk其特征值为22241,24sin116sin22khkhaa222414sin-116sin,22khkhaa取显然2114sin.2kha不满足vonNeumann条件,格式不稳定.稳定性的分类：1、条件稳定：稳定性对时间、空间步长有限制的。如：对流方程的左偏显示格式。2、无条件稳定（绝对稳定）：稳定性对时间、空间步长没有有限制的。如：隐式格式。3、无条件不稳定（绝对不稳定）：对任何时间、空间步长格式不稳定。如：扩散方程的Richardson格式。作业P441.3.(1.1)()0,(0,0,,0RxxfxuatRxxuatu），练习：对一维对流方程1、写出右偏差分格式、中心差分格式2、用Fourier方法分析两种差分格式的稳定性并说明两种格式的收敛性。