对流扩散方程的数值方法

第6章回流问题流动－传热耦合计算的数值方法概述•第5章并没有涉及至关重要的流动物理量——速度的求解方法，也未论及流动和传热之间的耦合•本章处理流场计算的问题，必须处理压力梯度项，因为压力梯度是流场的驱动力•此外，还需处理动量方程与能量方程耦合的问题概述•回流问题的控制方程类型：稳态问题：椭圆型非稳态问题：以时间为行进坐标的抛物型本章限于不可压流体回流问题•可压流体的回流问题：•《高速边界层传热》•《气动热物理》难点！！•速度的一阶导数项：对流项（第5章）•压力的一阶导数项：压力梯度项6.1不可压流体流－热耦合问题数值计算概述回流问题的难点•耦合性：控制方程是由连续方程、动量方程和能量方程一组耦合的方程组成•不能单独求解回流问题的难点•非线性：•由于对流项的存在，动量方程是非线性的•若速度与温度相关，如自然对流问题，则能量方程也是非线性的必须使用迭代求解•各个关联求解量u,v,p之间的迭代(SIMPLE算法)•解非线性问题的线化求解迭代(外迭代)•解线性代数方程组的迭代(内迭代)原始变量法和非原始变量法•原始变量法：求解流场，可以用原始方程中的速度u,v,压力p,密度，温度T,浓度D作为基本变量，这称为原始变量法•非原始变量法：以涡函数、流函数作为变量，这称为非原始变量的涡流函数法耦合求解和顺序求解•耦合求解法：各未知量关联在一起同时求解之•顺序求解法：先不考虑各变量的耦合，每个方程求解一个未知数，其它变量看成已知，在迭代过程中不断修正。耦合求解和顺序求解•耦合求解法：对计算机资源要求较高，编程相对困难，发展缓慢•顺序求解法：需要进行相当繁琐的多层次的迭代，迭代收敛条件有时比较难找到。6.2原始变量法顺序求解流场所遇困难及解决途径6.2.1原始变量法控制方程6.2.1简化条件下原始变量法求解流场的控制方程•不计质量力影响的二维不可压流动问题•三个待求变量u,v,p，仅有两个输运方程，并且压力p没有自身独立的输运方程0uvxy()()1()()uuuuvuuptxyxxyyx()()1()()vuvvvvvptxyxxyyy顺序求解u顺序求解v困难•1.常规网格下离散压力导数可能导出不合理的解•2.压力没有输运方程，如何求解6.2.2常规网格下离散压力导数可能导出不合理的解压强没有方向性，不能使用迎风型差分，必须采用中心型差分格式压强没有方向性因此不能使用迎风型差分必须采用中心型差分格式常规网格离散•常规网格:所有求解变量u,v,p均定义在一套网格节点上•一维情况，压力梯度项222WPPEWEwepppppppppx问题！！！•动量方程无法识别锯齿状压力波•锯齿波压力场被等同于一个均匀的压力场0weppEWpp二维情况•棋盘形压力场：不能在x和y方向上产生任何压力作用，被处理成了一个均匀的压力场解决方法•动量方程离散时，既需要保留压力导数项取中心差分格式，该格式又要包含离散出发节点在内•Harlow，Welch(1965)提出交错网格(staggeredgrid)技术来解决这一困难6.2.3压力计算没有独立的方程分析控制方程•有了压力场，才可以计算速度场•然而，连续方程没事可干0uvxy()()1()()uuuuvuuptxyxxyyx()()1()()vuvvvvvptxyxxyyy耦合关系•分析u,v,p三个变量间的耦合关系，速度和压力的正确耦合是通过连续方程：如果压力场是正确的，则按此压力场解得的速度场必满足连续方程。思路•可假定压力初始分布后，计算速度场•然后根据速度场与连续方程的不匹配程度,来修正压力分布•迭代，直到收敛。迭代更新方法•先假定一个压力场，据此计算速度场•考察此速度场不符合连续方程的程度，据此修正压力场，发挥了连续方程的作用0uvxy()()1()()uuuuvuuptxyxxyyx()()1()()vuvvvvvptxyxxyyySIMPLE算法压力关联方程的半隐式方法6.3交错网格下的动量方程离散6.3.1交错网格及其变量布置•交错网格：将不同的求解变量及物性参数分别定义在不同网格上的网格系统主网格•主节点(原始网格分割节点)：压力、温度、所有标量场与物性参数定义在这些节点上交错网格•将矢量函数速度u,v分别定义在错开主节点半个网格步长的主控制容积的界面上压力梯度的离散()EPeppx()NPnppy•既保留压力导数项取中心差分格式•该格式又包含了离散出发节点P在内•能够识别锯齿状压力场和棋盘状压力场，避免了误差的累积叠加代价！！！•编制计算机程序必须提供速度分量位置的全部相关信息•需要进行相当繁琐的插值计算6.3.2交错网格下的动量方程离散•压力梯度项的积分•压力梯度项在速度节点e处一步中心差离散，二阶精度nEnEPEPsPspdxdypdyppyxX动量方程()eenbnbePEenbauaubppA00eCeebSVau,,,nbwesnY动量方程()nnnbnbnPNnnbavavbppA6.3.3交错网格下控制容积界面上物理量的插值1．界面流量插值2．主控制容积界面的密度插值3．界面上的扩散系数或者扩导插值1．界面流量插值•北界面n-e的流量neneneeFvxvxVn的贡献Vne的贡献西界面P上的流量Fp•Fe，Fw加权插值wewePewewPPPPxxxxFFFuyuyxxxxFe的贡献Fw的贡献2．主控制容积界面的密度插值•密度只在主节点P，E上定义eeeEPeexxxxeeeenennnnnnnnePNENExxxxDyyyyyy并联的扩导串联的阻力串联的阻力＝＋＋3．界面上的扩散系数或者扩导插值•北界面n-e上的扩导