微分形式及其应用

微分形式及其应用1引子两个函数，如何检验它们是否互为函数呢？比如yxf2，602224yyxxg，它们之间就有关系602fg，这很明显。但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式0221442////),(,22yxxyxxygyfxgxfyxgf，因此它们相关，互为函数关系。对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。比如),,(),,,(zyxgzyxf，要想判定他们是否互为函数，就要判定yxgf,,，zygf,,，xzgf,,都为0才对。有没有更好的表达方式呢？有利用外微分（过一会再解释）044444444)44()22(2)22()22(2)2()2()602()602()602()(3333322242222422222422422242dyxydxdydxxdyxydxdydxxdxxydydxdyxdyxydxdydxxxydxdxxdyydydyxxdxdyxydxdxdydydyxydxxdxyxxddyyyxddxyyxxddyyyxxddxyyxxdyxddgdf好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积为0。dadbdbda，0dada这让我们想起了面积的定义。对了！外积的意义就是面积。我们重新理解一下（见图）如果将),(gf作为两个变量，则组成空间。),(gf作为),(yx的函数，当),(yx改变时，),(gf也随之改变。当函数gf,互不关联（不互为函数时），由于各自独立改变，当),(yx遍历一个非常小的方形区域)(dydx时，),(gf也形成一个小面积。但是当函数gf,互为关联（互为函数时），由于各自改变不独立，当),(yx遍历一个非常小的方形区域)(dydx时，),(gf仅在一个小线段上（或者在一个点，总之在低维的空间上）运动。由于dgdf就代表面积元，因此为0.可见，在高维空间中，微分形式非常有用啊！2微分形式我们看在二维空间上的一个线积分ldxxdy)32(l是),0()),sin(),(cos(,:2ttttRR定义的一段曲线（在这里是半圆弧线）。可以很容易积分出来6))sin(3)(cos2())cos(3)sin()cos(2(020dttttdtdttttt如果换一条曲线，会得到另一个值。比如，如果l是)1,1(),,(,:22ttttRR定义的一段抛物线，可得积分634)32(112ttdttdt如果不定义曲线l，这个积分则不能得到具体的数值。因此，可以认为这个积分ldxxdy)32(是曲线l的函数，也就是说，给定一条曲线，它就能给出一个值。我们称它为积分形式。（只fyfggxdydx0dgdf0dgdfyxdydx有形式，等待内容——曲线）如果去掉积分号dxxdy32我们则称其为微分形式（只有形式，等待内容——曲线或1维的映射）。给定一个映射，如))sin(),(cos(,:2tttRR，我们就能计算这个微分dttttdtdtdxxdy))sin(3)cos(2()cos(3)sin()cos(2)32(2*我们称映射将二维空间上的微分形式dxxdy32，拉回到1维空间上dttt))sin(3)cos(2(2。微分形式是与坐标无关的。也就是说，一个积分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其积分值是不变的。同样，一个微分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其微分是不变的。这个性质，满足了物理学描述客观性的愿望，因此物理规律（物理方程）用微分形式表达非常简单漂亮。3微分形式的外积我们看面积分dxdyyx)43(，给定一个面，就可以计算这个积分。但是这个表达式有一个缺憾，就是对于复杂表达，如dyyxdyx)2()43(定义模糊。我们看变换变量),(),(,:uvyvuxvuNM时，这个表达式变为dudvvuuvvuuvvuuvdvuduvvu),(),()4)(3()()()4)(3(，其中),(),(vuuvvu是变换的Jacobi行列式。因此我们将其表达为dydxyx)43(，规定对于任何表达式gf,，都要满足dfdgdgdf，0dfdf则变量改变就可以名正言顺地写为dvduvuuvvuuvvudvvduudvduuvvuudvdvduvdvudvduduvduuvvuudvduvdvduuvvuuvdvuduvvu),(),()4)(3())(4)(3())(4)(3()())(4)(3()()()4)(3(刚好满足变量变换的关系。这样我们类推地定义外积：我们知道一个微分形式（1-形式）iidx描述了一个线形式。可以推理，两个1-微分形式iidx，iidx可以构造出面形式（2-微分形式）。jiijjijijidxdxdxdx)(21如果两个1-微分形式外积为0，0这两个微分形式相关，即存在某个函数f使得f4外微分给定一个1-微分形式能否得到一个2-微分形式？可以通过外微分。我们定义一个微分形式的外微分d，与这个微分形式的闭合回路积分有关。对于无穷小面元，有其边界组成的闭合回路d具体地ijixiiiidxdxdxddxddj)(5微分形式的应用1．函数是常函数0df2．函数极值点0df表明自变量改变时，函数值不变。比如302xxf，0)12(dxxdf，得到2/1x。如果将函数看成映射，在这一点的映射出现奇异，即这一点附近无穷小的邻域映射为一点。3．两个函数相关（这在引子中给出了）0dgdf如果将函数看成映射，将自变量整个空间映射成一条线或点（低于2维的空间）。3个函数相关0dhdgdf其他以此类推。4．条件极值即在0g情况下计算f的极值。通常用Lagrange乘子法，这里可以用微分形式表达式。0dgdf非奇异点处奇异点处函数值空间函数值空间自变量空间自变量空间Xfg在极值点附近区域映射为线。比如在约束03yxg，情况下计算22yxf的极值点。因为dydxyxdydxydyxdxdgdf)(2)()22(所以030)(2yxyx得到2/32/3yx，与Lagrange乘子法计算的一致，但是方程简单。多个约束以此类推，如两个约束极值问题,在0,0hg情况下计算f的极值,就可以按照下面方程给。000dhdgdfhg5．计算偏导数问题在热力学中经常需要计算各种偏导数问题。采用微分形式可以方便地计算。热力学中只有两个自由参数。利用PdVTdSdE等关系定义变量间关系。将其外微分，得到dVdPdSdT那么热力学可以方便地给出热力学公式，比如dVdPdSdT，两边除以dVdT可以得到dVdTdVdPdVdTdSdT可以得到VTTPVS对任意一个等式，都可以改变自变量如Xfg非奇异点处奇异点处dVTPdSdET1外微分后dVTPddETd1除以dPdE可以得到EEPPEPVPTPEVETPdPdEdVTPdPT1三对换关系1dPdTdTdVdTdVdVdPdVdPdPdT就是1TVPPVTPVT求导换自变量比如PVPVVPVPPVPVVPVPTSTSTSESESdVdPdTdSdVdPdEdSdTdSdEdSE)/()()/()(方便得很6．正交曲线坐标系的求导公式iiiiiiidhdeerkkkiiiddee形式地写作jijjikd，jjiijiijhhddk,ikkkiiiddee可以特解kikkiddee，其齐次方程0iiide的解iiidλe满足0ijjiddeeee的解为kkkiikidddee)(根据微分关系记忆很容易ikkkiiiddeekkkiikidddee)(,系数反对称化是0ijjiddeeee的要求例如球坐标系drrddrdsinˆˆˆθrrdrrddrrsinθrrθθrθrrˆ)sin(sin)(ˆ))sin(sin(ˆˆ)sin)()sin((ˆ))((ˆˆ)sin)()sin((ˆ)()(ˆsinˆˆˆrddrddrrdddrdrddrddrddrrddrddrddrrddrdddrddrdrddrdrdrddrddrrddddrrddrddddddddddcosˆsinˆˆcosˆˆˆsinˆˆˆθrrθθr根据这个公式可以写出在球面坐标系下的各种梯度、旋度、散度等。方法是方向矢量的偏微分直接计算。记住这个公式，需要借助立体图。图中画出了点r及经过其点曲面坐标的三个单位矢量；改变形行成的大圆弧，改变形成的小圆，r改变形成通过坐标原点的射线。r改变不会影响这些方向。每个单位矢量在这些变化中，形成的图形：大圆，小圆，上椎体，下椎体。（1）当改变时，rˆ是大圆的径向，变化量为大圆半径为1时对应的弧长，大圆切线方向dθˆ；当改变时，rˆ是下椎体母线方向，改变量为母线长度为1时对应椎体边弧长，方向小圆切线方向dsinˆ；（2）当改变时，θˆ是大圆切线方向，改变向心方向drˆ；当改变时，θˆ是上椎体母线方向，改变量为母线为1时的体边弧长，方向小圆切线方向dcosˆ；（3）当改变时，ˆ平行移动；当改变时，ˆ是小圆切线，按照小圆转动，改变向心方向d)cosˆsinˆ(θr；在柱面坐标系中，完全通过直观可以给出0ˆˆˆˆˆzρθθρddddd7．包络几何（包络线，包络面等）理论含有参数的方程组代表空间几何曲线或几何面簇，当参数改变时，几何曲线或几何面会随之改变。这些几何簇的包络就是他们共切的曲线。0),(sxf定义了一簇低维面，如果将参数s改变后仍满足0),(ssxf，于是可以得到包络几何满足的方程0),(0),(sssxfxf，这就定义了包络几何。设原方程代表N维空间中m维的曲面簇，x的维数是N，f的维数是（N-m），其包络为N维空间中N+1-2（N-m）=2m+1-N维的曲面，当N=2m+1时，则不存在包络几何。如二维空间中的曲线簇，其包络是曲线；三维空间中的曲面线簇，其包络是一个曲面；三维空间中的曲线簇，其包络可能只是一个点。如下是计算线簇y=asin(ax)及其包络线。