有关全等三角形证明的习题

第18课时有关全等证明的习题课（添加辅助线构造全等三角形的方法）一、基础知识1.证明三角形全等的一般方法有：_____、_____、_____、_____.2.证明直角三角形全等的一般方法有：_____、_____、_____、_____、_____.3.几种添加辅助线构造全等三角形的方法（请你接着完成例题的证明）“三线合一法”：遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题.SSSSASASAAASHLSSSSASASAAAS例1如图,△ABC中,AB=AC,求证：∠B=∠C证明：作底边BC上的高AD.CABD∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADB和Rt△ADC中AB=ACAD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC∴∠B=∠C“倍长中线法”：遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.例2如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ABCDE证明:延长AE至G,使AG=2AE，连接BG、DG.ABCGDE显然DG=AC,∠GDC=∠ACD∵DC=AC∴∠ADC=∠DAC在△ADB和△ADG中BD=AC=DG∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC=∠ADGAD=AD∴△ADB≌△ADG故∠BAD=∠DAG即AD平分∠BAE“截长法”或“补短法”：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.例3如图，△ABC中，AB=2AC,AD平分∠BAC,且AD=BD，求证：CD⊥AC.证明：（截长法）在AB上取中点F，连接FD.ABCDF△ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知DF⊥AB，故∠AFD=90°在△ADF和△ADC中AF=AC∠FAD=∠DACAD=AD∴△ADF≌△ADC∠ACD=∠AFD=90°即CD⊥AC“平行线法”：过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形.例4如图，△ABC中，AB＝AC.E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F.求证：EF＝FD.FBADCE证明：过E作EM∥AC交BC于M则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∴∠B＝∠EMB,故EM＝BE∵BE＝CD∴EM＝CD又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF∴△EFM≌△DFC（AAS）∴EF＝FDFBADCEM二、强化训练1.如图，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于点E，CE=BC，点E在△ABC外.求证：∠ACE=∠B.12CEBAD证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC=∠AEC=90º∵AB=AC∴∠B=∠ACD，BD=DC=BC又∵CE=BC∴CD=CE1212在Rt△ACD和Rt△ACE中CD=CEAC=AC∴△ACD≌△ACE∴∠ACD=∠ACE∵∠B=∠ACD∴∠ACE=∠BCEBAD2.如图，AD是△ABC的中线.求证：AB＋AC＞2AD.ABCDE证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE.∵AD是△ABC的中线∴BD＝CD又∵∠1＝∠2，AD＝DE∴△ABD≌△ECD（SAS）∴AB＝CE∵在△ACE中，CE＋AC＞AE∴AB＋AC＞2AD3.如图，AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB，∠CBA,CD过点E，求证：AB=AD+BC证明：(截长法)在AB上取点F,使AF=AD,连接FE.如图所示EADBCF654321EADBCF∵EA分别平分∠DAB∴∠1=∠2在△ADE和△AFE中AF=AD∠1=∠2AE=AE654321EADBCF∴△ADE≌△AFE(SAS)∴∠D=∠3∵∠D+∠C=180°∠3+∠4=180°∴∠C=∠4在△FBE和△CBE中∠4=∠C∠5=∠6(EB分别平分∠CBA)BE＝BE∴△FBE≌△CBE∴BF=BC从而AB=AD+BC证明：过点P作PD∥BQ交CQ于点D，则∠CPD=∠CBQ=40°∴∠CPD=∠ACB=40°∴PD=CD∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，OQPABC4.△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．D∵∠ABC=80°∴∠ABC=∠ADP∵AP平分∠BAC∴∠BAP=∠CAP在△ABP与△ADP中∠ABC＝∠ADP∠BAP＝∠CAPAP＝AP（公共边）∴△ABP≌△ADP（AAS）∴AB=AD，BP=PDOQPABCD∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC∵BQ平分∠ABC交AC于Q∴∠CBQ=∠ABC=×80°=40°∴∠CBQ=∠ACB∴BQ=CQ∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC∴BQ+AQ=AB+BP．1212OQPABCD我相信，只要大家勤于思考，勇于探索，一定会获得很多的发现，增长更多的见识，谢谢大家，再见！