量子场论讲义1-4

第一章预备知识§1粒子和场以现有的实验水平，确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种，它们是物质存在的一种形式。场是物质存在的另一种形式，这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场，它们互相渗透和相互作用着。按量子场论观点，每一种粒子对应一种场，场的激发表现为粒子的出现，不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒。场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式，粒子只是场处于激发态时的表现。1.四种相互作用目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。四种相互作用的比较见表1.1表1.1四种相互作用的比较作用强相互作用电磁作用弱作用引力作用强度0.150.0073106.3410.395.9010力程1510∞1810∞媒介子介子胶子光子0ZWW粒子引力子？典型反应π＋pγpνp电磁相互作用的强度是以精确结构常数2317.2973104137.036ec来表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p）为代表，通过典型的反应过程的比较研究，确定各种作用强度的大小。2.粒子的属性不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变。最重要的属性有：质量m，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E和动量P的关系为42222cmcpE电量Q，粒子的电荷是量子化的，电荷的最小单位是质子的电荷。自旋S，粒子的自旋为整数或半整数，如π介子的自旋为0，电子的自旋为1/2，矢量介子的自旋为1。平均寿命，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果0N个相同粒子进行衰变，经过时间t后还剩下N个，则teNN10，式中即为粒子的平均寿命。磁矩，指粒子的自旋磁矩。它与粒子的自旋S满足关系：Smeg2，式中e是粒子电荷，m为粒子质量，g是数量因子。宇称P，描述粒子在空间反演下的性质的一个量子数。若在空间反演下)(xx，若粒子的态函数改变符号，此粒子具奇宇称（P＝－1）。若态函数保持不变，粒子具偶宇称（P=1）。粒子的性质，可查阅有关资料。例如：ParticleDataGroup编的ReviewofParticlePhysics,刊登于Plys.Lett.B592(2004)。3.粒子的分类可按多种方式对粒子分类。按参与相互作用的性质，可分为三类：（a）强子，既参与强相互作用，也参与弱相互作用。已发现的粒子大多数是强子，包括重子，介子。（b）轻子，不参与强相互作用的粒子，有的参与电磁作用和弱作用，如电子和μ子，有的只参与弱作用。（c）规范玻色子，传递作用力的粒子，如γ，WW,，0Z。按轻子——夸克层次可分三类：按强子夸克结构理论，强子不是“基本”粒子，强子是复合粒子，是若干个夸克构成的复合体，夸克是构成强子的组元粒子。夸克有6种：上夸克（u），下夸克（d），奇异夸克（s），粲夸克（c），底夸克（b）和顶夸克（t）。按Gell_Mann&Zweig理论，夸克带有分数电荷，理论上称有“六味”夸克，其所带电荷如下表：表1.2夸克的电荷味上u下d奇s粲c底b顶t电荷(e)2/3-1/3-1/32/3-1/32/3按此理论，强子不是粒子，而由夸克所构成，例如质子由u,u,d组成：(),()puudnudd中子，)(du,)(ud，ud,为反夸克，强子不看作粒子后，按轻子—夸克将粒子分类为：（a）规范玻色子，传递相互作用的粒子（b）费米子，包括轻子和夸克（c）Higss粒子，按弱电统一理论，应该有存在有自旋为0的Higss粒子，但实际上至今未发现。按此理论分类，有两个实验上未解决的问题，一是夸克禁闭，还找不到自由夸克，二是Higss粒子还未找到。按粒子的自旋分类.(a)自旋s=0的粒子，称标量粒子，如，k介子等(b)自旋21s的粒子，称旋量粒子，如电子e、质子p等(c)自旋1s的粒子，称为矢量粒子，如0m的J粒子，m=0的光子。(d)高自旋粒子。这种分类，方便场方程的研究。§2自然单位制物理学中确定单位制的通常做法是，依据研究对象，为研究方便，选取几个相互独立的物理量及其单位作为基本单位，其它物理量和单位则根据基本物理量及公式来表示，这些导出的单位称为导出量和导出单位。在微观高速现象的研究中，涉及的物理量有：长度、质量、时间、电荷和温度。为减少独立的基本物理量的数目，利用库仑定律并规定真空的介电常数为无量纲的数1来定义电荷，使电荷不再是基本物理量。为进一步减少独立的量纲，注意到，在微观高速领域，有三个重要的量：光速：199792458.2msc量纲1dimLTC玻尔兹曼常数：12310)24(3806505.1Jkk1510)15(617343.8evk量纲1dimEKk普朗克常数：sJh3410)18(05457168.12sMev2210)56(58211915.6量纲ETdim（数据来自Pyhs.LettB592.91(2004)）.建立一个在微观邻域应用方便的新单位制，规定这三个量的值为无量纲的1，即1,1,1ck这样在这一单位制中，量纲关系为：dimc=11TLdimk=1KEdimh=11TE即LTKE1，只剩一个独立的量纲。这一个独立的量纲可以选作能量、时间、长度或其它任何一种有量纲的物理量，这一单位制称为自然单位制。在量子场论中，应用自然单位制，选能量为基本量纲，基本单位为Mev或Gev.应用上，物理公式中的三个量、c、k都取为1。相对论能量动量关系.42222CMCPE即为2E=2P+2M。方程的简化，给计算过程带来方便。当然在实际应用中，还是要用到实际单位制的。因为物理方程中的各项，都必须具有相同的量纲，将自然单位制方程中的各项乘上三个量（或两个量）的幂次积，由各项必须具有相同量纲决定幂次数值，即可将自然单位制的方程还原为实用单位制的方程。例如：在自然单位制中Klein—Kordon方程为xmtx)(2222作cmcLT222代入c的量纲，求得0224，则方程返回为实用制的方程。xcmctx2222222§3狭义相对论1.相对论的基本原理相对论的基本原理是：（a）相对性原理。所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。（b）光速不变原理。真空中的光速对于任何惯性系沿任一方向恒为C，并且与光源运动无关这两个原理说明时间和空间是运动着的物质存在的形式，时间和空间是不可分割的，打破了绝对的时空观念。三维空间和一维时间应该构成一个统一体——四维时空。在四维时空中，任意事件定义为：1234(,,,)(,,,ic)xxxxxyztx而事件的间隔定义为：)(cS222222zyxtxx2S在坐标系和相对运动速度为v的坐标系'中，具有间隔不变性，xxxx''两坐标系之间作坐标变换xax'(1.1a)依间隔不变性，变换矩阵元满足关系aa(1.1b)当两坐标系的X轴和'X’轴沿'相对于∑的运动方向时，Lorentz变换的矩阵是：000100001000iia（1.2）式中2211cv，cv.引入符号4321,,,xtcizyx,,,ti,22t.2.四维时空中的协变量四维时空中，在Lorentz变换下，满足变换规律：SS'(1.3a)的物理量，即变换下不变的量S，称为Lorentz标量。满足变换规律VaV'（1.3b）的物理量，即在坐标系变换下与坐标有相同变换关系的具有四个分量的量，称为四维矢量。满足变换规律FaaF'（1.3c）的物理量，称为四维二阶张量。这些在Lorentz变换下有确定变换性质的量称为协变量。相对论要求，在不同惯性系中，物理规律应该有相同的形式，即在参考系变换下，方程形式不变，这一性质称为协变性。构建协变量，组建协变方程，验证了Maxwell方程组的协变性，证明Maxwell方程是符合相对论要求的。构建协变量，组建协变方程，改造了不符合相对论要求的经典力学，发现了符合高速运动规律的运动定律，这是理论工作的重大成就。四维能量—动量矢量)(Ecipp（1.4）是协变量。两个协变矢量的标积是不变量。因为AaBABABa式中对相同指标作求和运算，这一运算称为指标的缩并。作pp的标积，构成的不变量：222cEppp不变量当2,0mcWp，推导的关系式42222cmcpE（1.5a）即222mpE(1.5b)这是关于物体的能量、动量和质量的一个重要关系式。§4量子力学一维谐振子1．量子力学的假定描述微观粒子运动规律的量子力学是基于下列假定的：（a）微观体系的状态可由一个波函数tx,完全描述。例如，在时刻t，在坐标x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz的无限小区域d内找到子的几率为：dtxCdw2,C是比例系数。（b）力学量用厄密算符表示。经典力学中的力学量（C数）在量子力学中用表示这个力学量的算符（Q数）表示。如能量E和动量p，对应算符是：tiE，ip（1.6）算符满足一定对易关系，如：ijjiiqp],[0],[jipp0],[jiqq（1.7）对易关系就是量子化规则。(c)体系状态满足薛定格方程EH,Hti(1.8)（d）体系的波函数tx,可以用算符的本征函数),(tx作展开：nnntxCtx,,（1.9）(e)体系满足泡利原理。动力系的量子化，就是将体系的力学量变为厄密算符，建立算符的运动方程和对易关系。在量子力学中可以用薛定格表像或海森伯表像对体系进行量子化。2.一维谐振子的量子化在经典力学中，线形谐振子的运动方程是：kxxm(1.10)拉格朗日量是：2211()22Lmxkx(1.11)哈密顿量为：)(212222xmpmLxxH(1.12)式中mkxmp,。现将线形谐振子量子化，把x，p作为算符，作替代ipxx,..运动方程),(),(txEtxH(1.13)为22221()(,)(,)22dmxxtExtmdx(1.14)引入对易关系：,ijijxpi,,0ijijxxpp(1.15)这就完成了线形谐振子在坐标空间中的量子化。现引入一个新表象作处理，用算符a和a代替p，x，令1()2apimxm(1.16a)1()2apimxm(1.16b)容易证明：1],[aa0],[],[aaaa（1.17）和12Haa(1.18a)即1()2HN（1.18b）式中aaN（1.19）则谐振子的量子化问题转变成为对算符N的本征态求解问题。本征方程是nnnN（1.20）n是算符N的本征态。方程（1.20）和对易关系（1.17）完成了在新表象中对谐振子的量子化。这一表象称为占有数表象。量子力学中已证明：(a)、N厄密正定，NN,0n(b)、a和a分别称为产生算符和湮灭算符。当m为正整数时，nannNa)1(，nam