分形维数浅释

分形维数（FractalDimension）浅释笔者:喻麟佑博士（美国亚利桑那大学物理学博士）2012年3月于广州前言：最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。简化以后，大意可以由下图描述：三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那么，1+1不就等于2了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。现在，我们来了解一下分形的原理。正文：分形(Fractal)，又称“碎形”或“残形”。这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。自从20世纪80年代开始[注一]，“混沌(chaos)”，“奇异吸引子(strangeattractors)”，“分形(fractal)”,还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。分形几何，有若干特性，例如“自相似性（self-similarity）”等等。本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数（FractalDimension）。并且，也借此讨论过程，得以对分形（碎形）有更深入的了解。首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度(Dimension)是整数，如一个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为3维。然而，分形，却具有非整数的维数。这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们先看看一条线段（如图一）：图一如果我们把此线段分割一次，则1n，12N，12L式中L是一个常数，n是分割的次数，nN乃分割n次后的总碎片数，n是分割n次后的每一碎片的长度第二次分割（每个线段再分割一次）：2n，2242N，2242LL第三次分割（每个线段再分割一次）：3n，3382N，3382LL因此，我们不难知道，分割n次后，总碎片数：2nnN，每一碎片大小：2nnL现在，让我们来定义一个维数D：DDnnLN()n(式一)式中，L的D次方（即维数）等于，分割n次后的总碎片数，乘上每一碎片长度的D次方。特别注意的是，分割的次数n必须是非常大（无穷大）。D也就是一般所指的“豪斯多夫”维数（HausdorffDimension）。式一也可写成（先暂不管n）：DnDnLNDnnLN等式两边取自然对数:lnlnDnnLNlnlnnnLDNlnlnnnLND或1lnlnlnnnNDL严格来说，分割的次数n为无穷大()n0lnlimlnnnnLnND或10lnlimlnlnnnnnNDL(式二)因为1lnlnnL，我们也不难得到10lnlimlnnnnnND(式三)所以，L这个常数，对维数来讲，并不重要。到目前为止，可能不太容易理解，到底怎么回事了。好，让我们来算一算这条线段的“豪斯多夫”维数吧！由式二，0lnlimlnnnnLnND002ln2ln2limlimln2lnnnnnnnnnLL0ln2lim1ln2nnnn因此，我们得到这条线段的“豪斯多夫”维数是1。再者，让我们来看看一个在平面上的几何图形（如图二）：图二观察图二，我们不难得到：当1n，2142N，12L当2n，42162N，2242LL所以分割n次后，22nnN，2nnL由式二，0lnlimlnnnnLnND22002ln2ln2limlimln2lnnnnnnnnnLL02ln2lim2ln2nnnn也就是说，这个方形的“豪斯多夫”维数是2。那么非整数的维数，是怎么回事呢？让我们来看看著名的“康托尔”集(CantorSet)。“康托尔”集，可说是最简单的一种碎形了。它可由如下方式形成（如图三）：图三观察图三，我们不难理解：当1n，12N，13L当2n，24N，2293LL当3n，38N，33273LL所以分割n次后，2nnN，3nnL由式二，0lnlimlnnnnLnND003ln2ln2limlimln3lnnnnnnnnnLL0ln2ln2lim0.631ln3ln3nnnn在此，我们得到了一个非整数的维数D=0.631。这是一介于0和1之间的维数。让我们进一步看看介于1和2之间的维数。它是一个碎形（如图四）。图四我们可以由以下方法得到这个分形（图五）：图五观察图五，我们可以得到：当1n，15N，13L当2n，225N，2293LL当3n，335N，33273LL所以操作n次后，5nnN，3nnL由式二，0lnlimlnnnnLnND003ln5ln5limlimln3lnnnnnnnnnLL0ln5ln5lim1.465ln3ln3nnnn这一次，我们得到了一个非整数的维数D=1.465。这是一介于1和2之间的维数。十分有趣的是，这个碎形的总面积为0，因为总面积222lim()lim53nnnnnnLN25lim09nnL另外，还有一个非常典型且有名的例子，那就是“科赫”曲线（KochCurve）（如图六）,十分值得我们来讨论。图六我们可以由以下的运作得到这个“科赫”曲线（图七）：图七观察图七，我们可以归纳出：当1n，14N，13L当2n，22164N，2293LL当3n，33644N，33273LL所以，运作n次后，4nnN，3nnL由式二，0lnlimlnnnnLnND003ln4ln4limlimln3lnnnnnnnnnLL0ln4ln4lim1.262ln3ln3nnnn于是，我们得到了“科赫”曲线的维数D=1.262。这也是一介于1和2之间的维数。非常有趣的是，这个“科赫”曲线的总长度是无穷大（看起来像吗？），因为总长度lim()lim(4)3nnnnnnLN4lim3nnL以上两个例子，不是线，也不是面，它们似乎是某种介于线与面之间的存在。读者可以加以沉思一番。“科赫”曲线的研究十分有用，常用来帮助分析海岸线（coastline）的结构，由近似的分形维数，可以定量的分析海岸线的平滑度或不平滑度(“smoother”or“rougher”)。据文献记载，英国（GreatBritain）的海岸线之分形维数的近似值为1.25；而南非（SouthAfrica）海岸线分形维数的近似值为1.0；挪威(Norway)海岸线分形维数的近似值为1.52。可见南非的海岸线是相当平滑的，而英国的海岸线则是比较不平滑的(rougher)，较接近“科赫”曲线的特性；而挪威的海岸线则是更趋复杂。分形树(FractalTrees)的分形维数也相当有趣，十分值得我们讨论。另外，值得一提的是，分形的“豪斯多夫”维数并非一定是非整数的，有时也会是整数。严格来说，分形的“豪斯多夫”维数大于“拓扑”维数，这样比较正确。以下是一个例子—H分形(H-fractal)，或称H树(H-Tree)，（如图八）。它的确是一个分形，但“豪斯多夫”维数为2。图八这个特殊的H碎形可由以下的运作得到（图九）：图九观察图九，我们可以归纳出：当1n，12N，12L当2n，2242N，222L当3n，3382N，332L当4n，44162N，442L所以，运作n次后，2nnN，2nnL读者不难算出，其“豪斯多夫”维数恰好等于2。留给读者当家庭作业吧。以下四个分形树（TreeFractal），分支夹角各为120度，140度，160度，和180度，它们都有完全一样的分形维数：ln21.6091ln0.65D。图十一些很单纯的分形，我们可以直接计算出来它们的维数，但是许多较复杂的分形，则是常用的盒计数法(Box-CountingMethod)。此方法十分简易且有效。步骤如下，随着n的增加，计算方形“盒子（boxes）”的数目（如图十一），可以估计出分形的维数（而n不需很大）。用这个方法可以有效地估计出相当复杂、或不规则形状的分形之维数，这一方面，限于篇幅，不详谈了。图十一还有一个很重要的定理：若一个几何图形包含两个以上的不同维数的图形，那么，这整个图形的维数，必定等于那个较大的维数。这个特性可以由盒计数法来加以阐释的很清楚（限于篇幅，不加赘述）。因此，整个分形树（TreeFractal）的维数（如图），恰恰等于最终端分支的维数（如果最终端分支的维数大于或等于1）。如果最终端分支的维数小于1，则整个分形树（TreeFractal）的维数必定是1，因为一支树干的维数是1。最后，关于分形的应用，不仅是在物理学，地理学，海洋学，更可应用在医学，生物学，化学，纺织学，设计学等等诸多的领域里。比如说化学，分子的分形结构及维数，会影响到许多化学反应的机制、快慢。又比如说纺织学，人造纤维的分形结构及维数，也会深深地影响到许多成品的巨观特性，如色泽等等。至于在美学的设计上，那就是更直接，更生动了！图十二希望本文粗浅的介绍，能带给读者几许好奇心，或兴趣，来欣赏一下这门蛮新的学问，扩充一下我们对大自然的看法。喻麟佑博士2012年三月于广州附注：一．B.Mandelbrot,TheFractalGeometryofNature,W.H.FreemanandCo.,NY,1977.