函数的单调性与极值-课件(共27张PPT)

函数的单调性与极值一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最值一、函数的单调性从几何图形上来分析abxyo)(xfy),(ba都是锐角，即斜率0)(tanxf是上升的。),(ba如果曲线在内所有切线的倾斜角时，那么曲线在可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。aboyx同样，当时，曲线在内是下降。),(ba0)(tanxf我们有如下定理：定理1设函数在上连续，在区间),(ba)(xfyba,内可导，（1）如果在内，则在),(ba0)(xf)(xfba,上单调增加；),(ba0)(xf)(xfba,上单调减少。（2）如果在内，则在注意：（1）将定理中的闭区间换成其他各种区间定理的结论仍成立。ba,单调增加的充分条件，而不是必要条件。（2）在内，只是在上),(ba0)(xf)(xfba,考察函数3)(xxf，但等号只在个别处成立，（3）如果在区间内ba,0)(xf（或0)(xf）仍是单调增加（或单调减少）的。则函数在上)(xfba,考察函数3)(xxf例1判定函数的单调性。xxxfarctan)(解的定义域是。)(xf),(01111)(222xxxxf在区间和都有，只有当)0,(),0(0)(xf0x时，，所以在内单调减少。0)0(f)(xf),(例2求函数的单调区间。xxxf3)(3解的定义域是)(xf),()1)(1(333)(2xxxxf令，得，0)(xf1,1xx它们将定义域),(当时，)1,1(x0)(xf当时，。)1,(),1(x0)(xf所以的单调增加区间是和；单调递减区间是)(xf)1,(),1()1,1(例3确定函数的单调区间。23352353)(xxxf解的定义域是)(xf),()1,(),(11),1(分成三个区间令，得，又处导数不存在，0)(xf1x0x1x，这两点将分成三个区间，0x),(列表分析在各个区间的符号：)(xfx)0,()1,0(),(1)(xf)(xf331321)(xxxxxf由表可知，的单调增加区间为和)(xf)0,(，单调减少区间为。),1()1,0(二、函数的极值设函数在点的某邻域内有定义，)(xf0x1定义（1）如果对该领域内的任意点，都有)(xxx)()(0xfxf，则称是的极大值，称是)(0xf)(xf0x的极大值点。)(xf（2）如果对该领域内的任意点，都有)(xxx)()(0xfxf，则称是的极小值，称)(0xf)(xf0x是的极小值点。)(xf函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小致点统称为极值点。注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。oxyab2极值存在的必要条件和充分条件定理2（极值的必要条件）如果函数在点)(xf处可导，且在点取得极值，则。0x0x0)(0xf定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。0)(0xf0x)(xf使的点称为函数得驻点。反过来，驻点不一定是极值点。3)(xxf考察函数另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。0xxxf,)(考察函数定理3（极值的第一充分条件）设函数)(xf在点连续，且在点的某一空心邻域0x0x)0)(,(),(0000xxxx内可导。（1）如果在内，在),(00xx0)(xf),(00xx内，则函数在点处取极大值；0)(xf)(xf0x)(0xf（2）如果在内，在),(00xx0)(xf),(00xx内，则函数在点处取极小值；0)(xf)(xf0x)(0xf（3）如果在和内不变)(xf),(00xx),(00xx号，则在处无极值。)(xf0x定理3即：设在点的某一空心邻域内可导，)(xf0x当有小增大经过时，如果由正变负，x0x)(xf则是极大值点；如果由负变正，0x)(xf极小值点；如果则是0x)(xf不变号，则不是极值点。0x例4求函数的极值。1093)(23xxxxf解的定义域是)(xf),()3)(1(3963)(2xxxxxf令，得驻点。0)(xf3,121xx当时，11x0)(xf当时，31x0)(xf当时，。3x0)(xf)(xf3x在处取得极小值17)3(f例5求函数的极值。123)(32xxxf解的定义域是)(xf),(333111)(xxxxf令，得驻点，而时不存在。0)(xf1x0x)(xf由定理3知，在处取得极大值。)(xf11x15)1(f因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：极大值1极小值x)(xf)(xf)0,()1,0(01),1(不存在021由表可知，在处取得极大值，)(xf0x1)0(f)(xf在处取得极小值。1x21)(xf函数的图形如图123)(32xxxf函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的二阶导数判定函数是否有极值。01x121y定理4（极值的第二充分条件）设函数在点)(xf0x处有二阶导数，且，，则0)(0xf0)(0xf（1）如果，则在取得极大值；0)(0xf)(xf0x（2）如果，则在取得极小值。0)(0xf)(xf0x例6求函数的极值。22ln)(xxxf解的定义域是)(xf),,(),(00令，得到两个驻点。0)(xf1,121xx222)(xxf04)1(;04)1(ff由定理4可知，都是的极小值点，1,121xx)(xf1)1()1(ff为函数的极小值。)(xfxxxf22)(又函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数在上的最大值，)(xfba,)(xfba,最小的就是函数在上的最小值。注意下述三种情况：（1）如果在上是单调函数；)(xfba,三、函数的最值1闭区间[a，b]上的连续函数)(xf（2）如果连续函数在某区间内只有一个极大)(xf（小）值，而无极小（大）值；（3）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例7求函数在区间41232)(23xxxxf4,3上的最大值与最小值。解)1)(2(61266)(2xxxxxf132413331242)(,)(,)(,)(ffff比较可知，在上最大值为，最小值)(xf4,3132)4(f为3)1(f例9将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为)2(xa0)(xf得驻点:令，.,1221xx),(,)(2022axxaxv令，得（舍去）。又0v2,621axax046aav)(所以函数在处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的时，所做的方盒容积最大。v6ax61ax方盒的容积为：),)((xaxav62例10制作一个容积为的圆柱形密闭容器，V怎样设计才能使所用材料最省？解如图，设容器的底面半径为，高为，rh则表面积为rhrS222),0(,222rrVrS232)2(224rVrrVrS2rVh所以令0S，得驻点32VrhrhrV2由已知得故rrVh22所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。例11一工厂A与铁路的垂直距离为，垂足akmB到火车站C的铁路长为，要在BC段上选)(abbkm一点M向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运费之比为3：5，问M选在离C多少公里处，才能使从A到C的运费最少？S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时解设,则xMC22)(,xbaAMxbBM设铁路、公路上每公里运费分别为从A到,5,3kkC需要的总运费为，则y)0(3)(522bxkxxbakykxbaxbky3)()(522令，0y得（舍去）。因为abxabx43,43211x是在区间[0,b]上的唯一驻点，而实际问题中存在最小值，因而是最小值点，因此，M选在abx431离C点距离为处时总运费最省。)(43kmab例12工厂生产某产品，当年产量为x（单位：百台）时，总成本（单位：万元）为C(x)=3+x，其销售收入（单位：万元）为,问年产量x为25.05)(xxxR多少时，总利润L最大？解利润为)(.)()()(035042xxxxCxRxL令，得驻点。0)(xL4x的唯一极大值点，于是（万元）是最大值，5)4(L即每年生产400台时，总利润最大，最大利润为5万元。xxL4)(01)4(L4x)(xL因为，所以是函数